工程数学 - 偏导数

函数就像一台机器，它接受一些输入并给出一个输出。例如，y = f(x) 是 'x' 中的一个函数。在这里，我们说“x”是自变量，“y”是因变量，因为“y”的值取决于“x”。

一些函数示例如下：

1. f(x) = x ² + 3 是一个代数函数。
2. e ^x是指数函数。
3. sin(x), cos(x), tan(x),…等。都是三角函数。

现在，所有这些函数都是单个变量的函数，即只有一个自变量。

要理解偏导数的概念，我们首先要了解两个变量中的函数是什么意思。
考虑一个形式为 z = f(x,y) 的函数，其中“x”和“y”是自变量，“z”是因变量。该函数称为两个变量中的函数。类似地，也可以定义多个变量的函数（即具有超过 2 个自变量）。

多变量函数或多个变量的函数的一些示例是：

1. f(x,y) = x ² +y

2. f(x,y,z) = x-3y+4z

让我们通过图表形象化这个概念。首先我们考虑一个单变量函数f(x) = x ² 。

f(x) = x^2 的图

与单变量函数不同，我们不能将多变量函数可视化为二维图。为此，我们将其绘制在 3-D 平面上。例如，考虑 f(x,y) = x ² +y ²的图

f(x,y) = x^2 + y^2 的图

对于多个变量的函数，我们将限制定义如下：

这意味着，当“x”接近“a”和“y”接近“b”时，找到 f(x) 的极限。

类似地，连续性和可微性的定义可以从单变量函数的定义扩展而来。

回想一下，单变量 y=f(x) 的函数的导数定义为： f'(x) = ` $\frac{dy}{dx}$

对于两个变量的函数z = f(x,y)，我们将导数定义为： $\frac{\partial z}{\partial x}$

这意味着通过保持“y”不变来计算函数“z”相对于“x”的导数。类似地，我们可以通过保持 'x' 为常数来计算 'z' 关于 'y' 的导数$\frac{\partial z}{\partial y}$

偏导数的几何解释

众所周知，对于单变量函数，导数计算为通过曲线的切线的斜率。类似地，我们可以理解多变量函数的偏导数的几何解释。

考虑两个变量的函数，z = f(x,y) 在 3-D 平面上，让平面 y=b 通过曲线 f(x,y)。

现在，我们绘制另一条位于 z 上且垂直于平面 y=b 的曲线 f(x,b)。考虑这条曲线上的两个任意点 P,R 并画出穿过这些点的割线。

该割线的斜率使用以下第一原理计算：

$m = \frac{Δz}{Δx} = \frac{f(x+Δx,b)-f(a,b)}{Δx}$

随着两点彼此靠近，差 Δx 接近 0，我们以 limit 的形式计算： $\lim_{Δx\to0} \frac{Δz}{Δx} = \frac{f(a+Δx,b)-f(a,b)}{Δx}$

通过将“y”视为常数，此限制是“z”相对于“x”的偏导数，即

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{f(a+Δx,b)-f(a,b)}{Δx}$

计算给定函数的偏导数。

计算给定函数的偏导数的步骤：

1. 考虑 z = f(x,y)。
2. 计算关于“x”的偏导数，即$\frac{\partial z}{\partial x}$通过将“y”视为常数并相对于“x”对函数进行微分。
3. 计算关于'y'的偏导数，即$\frac{\partial z}{\partial y}$通过将“x”视为常数并相对于“y”对函数进行微分。

示例： $z = x^2 + y^2 + 3xy$

在这里，对于给定的函数，我们计算两个偏导数如下：

案例1 ：通过将'y'视为常数来对'x'进行微分，即$\frac{\partial z }{\partial x}$

通过处理'y'常数来区分'z'和'x'

案例2 ：通过将'x'视为常数来区分'y' $\frac{\partial z }{\partial y}$

通过处理'x'常数来区分'z'和'y'

二阶偏导数

与计算单变量函数的二阶导数类似，我们可以计算多变量函数的二阶导数。

例如，我们考虑相同的函数$z = x^2 + y^2 + 3xy$ .

案例1 ：我们区分$\frac{\partial z}{\partial x}$再次关于“x”

案例2 ：我们区分$\frac{\partial z}{\partial y}$再次关于'y'

案例3 ：我们区分$\frac{\partial z}{\partial x}$再次关于'y'

案例4 ：我们区分$\frac{\partial z}{\partial y}$再次关于“x”