题目介绍

本题目是2005年的计算机科学专业研究生入学考试题目，共有29道问题。本文将重点介绍第29道问题，题目名称为“门”。

题目内容

题目描述：

假设你有一个逻辑门电路，输入的是 $n$ 个二进制值，输出的也是一个二进制值。每一个逻辑门有 $k$ 个输入，其中一些是输出之前的 $n$ 个二进制值中的某些值，一些是其他逻辑门的输出。每一个逻辑门的输出只能供一个或多个其他逻辑门的输入使用，不能直接输出。

请设计一个算法，可以通过最少的添加逻辑门，使得新的逻辑门电路的输出与原来的输出完全一样。

题目分析：

本题目的主要思路是构建一个有向无环图，每一个节点代表一个逻辑门，并且节点的输入边都是来自于之前的节点的输出边。根据题目中的要求，每一个输出边只能供一个或多个其他逻辑门的输入使用，因此需要将每一个逻辑门的输出边转换成输入边。这样，原来的逻辑门电路就可以看成是一个输入节点和输出节点组成的有向无环图。

接下来的问题就是如何通过最少的添加逻辑门来复制原来的节点，这个可以通过拓扑排序与动态规划来解决。我们使用一个数组 $A[i][j]$ 来表示节点 $j$ 是节点 $i$ 的后继节点，并且需要添加一个逻辑门。

用 $x$ 表示逻辑门的个数，则有：

$$A[i][j] = x \quad \text{if }\ j \text{ 是 } i \text{ 的后继节点}$$

我们用 $f(i,j)$ 表示在原来的节点 $1$ 到节点 $i$ 构成的子图中，若节点 $j$ 不是节点 $i$ 的后继节点，则添加最少的逻辑门个数。我们需求的是 $f(n,1)$。我们可以得到以下状态转移方程：

$$f(i,j) = \min{f(i-1,j),f(i-1,k)+1} \quad \text{if}\ j\text{不是节点i的后继节点}$$

其中 k 是节点 i 的后继节点。

算法的时间复杂度是 $O(n^2k)$。

程序示例

以下是本题的一个代码示例，使用 Python 语言实现：

def logic_gate(n: int, k: int, gate: List[List[int]]) -> int:
    """
    :param n: int 节点数量
    :param k: int 逻辑门的输入数量
    :param gate: List[List[int]] 节点之间的连接关系
    :return: int 最小添加逻辑门的数量
    """
    A = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            A[i][j] = j + 1 if j + 1 in gate[i] else 0

    f = [[float("inf")] * n for _ in range(n)]
    f[0] = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(n):
            if A[i][j] == 0:
                f[i][j] = f[i-1][j]
            else:
                for k in range(n):
                    if A[i-1][k] == A[i][j]:
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i-1][k] + 1)

    return f[n-1][0]

其中，输入参数 gate 是一个二维数组，每一行表示一个节点的输入关系，数组值表示其他节点的编号。例如，gate[0] = [2, 3] 表示第一个节点的输入来自于第二个节点和第三个节点。

对应的时间复杂度分析：

• 确定节点之间的连接关系 A：$O(n^2k)$
• 动态规划求解 f：$O(n^2)$
• 总时间复杂度：$O(n^2k)$

总结

本题目涉及了有向无环图的拓扑排序、动态规划等知识点。对于有经验的程序员来说，掌握这些知识点是非常重要的，可以帮助打破算法思维壁垒，提高代码质量和效率。