迷宫中的老鼠有多个步骤或可以跳跃

在迷宫中寻找路径是一个经典的编程问题。为了解决这个问题，我们可以使用图论中的搜索算法。一个常见的搜索算法是深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

深度优先搜索（DFS）

在深度优先搜索中，程序从起点开始走到深度最深的节点，如果遇到不能走或已经搜过的节点则返回上一层。这一过程会一直进行直到找到终点或搜索完所有节点。

代码示例

visited = set()
def dfs(node):
    if node in visited:
        return
    visited.add(node)
    if node == target:
        # found the target!
        return
    for neighbor in get_neighbors(node):
        dfs(neighbor)

复杂度分析

在最坏情况下，深度优先搜索可能需要访问图中的所有节点，时间复杂度为 $O(|V|+|E|)$，其中 $|V|$ 是节点数，$|E|$ 是边数。

广度优先搜索（BFS）

在广度优先搜索中，程序从起点开始搜索其周围的节点，然后一层层向外搜索，直到找到目标节点或搜索完整张图。

代码示例

from collections import deque
def bfs(start, end):
    visited = set()
    q = deque([start])
    while q:
        node = q.popleft()
        if node in visited:
            continue
        visited.add(node)
        if node == end:
            # found the target!
            return
        for nei in get_neighbors(node):
            q.append(nei)

复杂度分析

最坏情况下，广度优先搜索需要访问图中的所有节点，时间复杂度为 $O(|V|+|E|)$。

跳跃搜索

在某些情况下，迷宫中的老鼠可以跳跃，这意味着它可以跨越一些障碍物或敌人，而不必穿过它们。这时，我们需要使用跳跃搜索。

代码示例

directions = [(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)]

def jump_search(grid, start, end):
    visited = set()
    q = deque([start])
    while q:
        node, steps = q.popleft()
        if node == end:
            # found the target!
            return steps
        for dx, dy in directions:
            for jump in range(1, max(len(grid), len(grid[0]))):
                x, y = node[0] + dx*jump, node[1] + dy*jump
                if x < 0 or x >= len(grid) or y < 0 or y >= len(grid[0]):
                    # out of bounds
                    break
                if grid[x][y] == '#':
                    # hit an obstacle
                    break
                if (x, y) in visited:
                    # already visited
                    continue
                visited.add((x, y))
                q.append(((x, y), steps+1))

复杂度分析

最坏情况下，跳跃搜索需要访问图中的所有节点，时间复杂度为 $O(|V|+|E|)$。

总结

无论老鼠是否可以跳跃，我们都可以使用广度优先搜索或深度优先搜索来解决迷宫问题。如果老鼠可以跳跃，则可以使用跳跃搜索来加快搜索速度。