BST中使用O(1)额外空间的K个最大元素的总和

二叉搜索树（BST）是一种常见的数据结构，它具有快速的查找、插入和删除等操作。在BST中，每个节点的值都大于等于其左子树中的所有节点的值，小于等于其右子树中的所有节点的值。因此，BST中的最大值必定是位于最右侧的叶子节点。

本文将介绍如何在不使用额外空间的情况下找到BST中的K个最大元素的总和。为了实现这一点，我们需要使用一种称为“Morris遍历”的技术，该技术允许我们在不使用栈或队列的情况下，仅使用O(1)的额外空间来遍历BST。

Morris遍历

Morris遍历是一种基于线索化的二叉树遍历方法。它主要的思想是在遍历时构造一些额外的线索，以使得遍历时不需要使用栈或队列来存储中间状态，从而达到O(1)的空间复杂度。

在Morris遍历中，我们以当前节点为起始点，向其左子树中，最右侧的叶子节点（即最大节点）前驱的方式遍历。遍历的过程中，我们需要构造两种类型的线索：

1. 当前节点的前驱节点的右指针指向当前节点。这种线索用来将我们遍历过的节点“回溯”回当前节点。

2. 当前节点的左子树中，最右侧的叶子节点（即最大节点）的右指针指向当前节点。这种线索用来帮助我们找到下一个需要遍历的节点。

Morris遍历的具体步骤如下：

1. 初始化当前节点为根节点。

2. 如果当前节点的左节点为空，则输出当前节点的值，并将当前节点指向其右节点。

3. 否则，在当前节点的左子树中，找到最右侧的叶子节点（即最大节点）的前驱，将其右指针指向当前节点。如果该节点的右节点为空，说明当前节点的左子树尚未遍历完全，将当前节点指向其左节点。否则，说明当前节点的左子树已经遍历完全，输出当前节点的值，并将其右指针清空，将当前节点指向其右节点。

4. 重复步骤2-3，直到当前节点为空。

找到BST中的K个最大元素的总和

通过Morris遍历，我们可以以O(1)的额外空间复杂度来遍历BST，并找到其中的最大值。接下来，我们可以通过将Morris遍历中的输出操作修改为一个类似于归并排序的操作，来找到其中的K个最大元素的总和。

具体地，我们可以使用一个小根堆来维护BST中的K个最大元素。在进行Morris遍历时，对于每个遍历到的节点，我们将其值插入到小根堆中，如果小根堆的大小已经超过了K，则将堆中的最小值弹出。最终，堆中剩余元素的和即为BST中的K个最大元素的总和。

下面是实现该算法的Python代码片段：

class TreeNode:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

def morris_traversal(root, k):
    cur, sum_val = root, 0
    while cur is not None:
        if cur.right is None:
            sum_val, k = insert_to_heap(cur, sum_val, k)
            cur = cur.left
        else:
            pred = find_max(cur)
            if pred.right is None:
                pred.right = cur
                cur = cur.left
            else:
                pred.right = None
                sum_val, k = insert_to_heap(cur, sum_val, k)
                cur = cur.right
    return sum_val

def insert_to_heap(node, sum_val, k):
    if k == 0 or node.val <= heap[0]:
        return sum_val, k
    sum_val += node.val
    if k > 0:
        heapq.heappush(heap, node.val)
    else:
        sum_val -= heapq.heappop(heap)
        heapq.heappush(heap, node.val)
    return sum_val, k-1

def find_max(node):
    pred = node.left
    while pred.right is not None and pred.right != node:
        pred = pred.right
    return pred

上述代码中，我们定义了一个TreeNode类来表示BST中的节点。morris_traversal函数接收BST的根节点和需要找的最大元素个数K作为参数，并返回K个最大元素的总和。在函数中，我们使用Morris遍历来遍历BST，其中insert_to_heap函数将当前遍历到的节点插入到小根堆中，并维护堆中的元素个数不超过K。在函数结束时，堆中剩余元素的和即为K个最大元素的总和。

总结

本文介绍了如何在BST中使用O(1)的额外空间复杂度来找到K个最大元素的总和。我们使用了一种称为Morris遍历的技术，在遍历BST时仅使用了常数级的额外空间。最终，我们通过将Morris遍历中的输出操作修改为一个类似于归并排序的操作，来找到其中的K个最大元素的总和。