执行指示的操作并以标准格式 (12 – 2i)/9i 写出答案

复数是可以表示为实数和虚数之和的术语。这些是可以写成 a + ib 形式的数字，其中 a 和 b 都是实数。它用 z 表示。这里值“a”称为实部，用 Re(z) 表示，“b”称为虚部 Im(z)，以复数形式表示。它也被称为虚数。在复数形式中，a + bi 'i' 是一个称为“iota”的虚数。 i 的值为 (√-1) 或者我们可以写成 i ² = -1。例如，

• 5 + 2i 是复数，其中 5 是实数 (Re)，2i 是虚数 (Im)。
• 7 + 3i 是复数，其中 7 是实数 (Re)，3i 是虚数 (Im)。

A real number and imaginary number combination is called a  Complex number.

复数的代数运算

复数的代数运算有四种类型

• 复数的加法

在这个操作中，我们知道复数的形式是 z = p+iq，其中 a 和 b 是实数。现在，考虑两个复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂ 。因此，复数 z ₁和 z ₂相加。

z₁ + z₂ = (p₁ + p₂ ) + i(q₁ + q₂)

Some more identities are: 

1. z₁ + z₂ = z
2. z₁ + z₂ = z₂ + z₁
3. (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
4. z + (-z) = 0
5. (p + iq) + (0 + i0) = p + iq

The resulting complex number real part is the sum of the real part of each complex number. The resulting complex number imaginary part  is equal to the sum of the imaginary part of each complex number.

• 复数减法

在复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + ib ₂的这种运算中，因此 z ₁和 z ₂之差即 z ₁ -z ₂定义为：

z₁ – z₂ = (p₁ – p₂) + i(q₁ – q₂)

• 复数的乘法

在这个两个复数的乘法运算中。

我们知道 (x+y)(z+w)

=xz + xw + zy + zw

类似地，复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂

要找到 z ₁ z ₂ ：

z ₁ z ₂ = (p ₁ + iq ₁ )(p ₂ + iq ₂ )

z ₁ z ₂ = p ₁ p ₂ + p ₁ q ₂ i + q ₁ p ₂ i+ q ₁ q ₂ i ²

我们知道，i ² = -1，

所以，

z₁ z₂ = (p₁ p₂ – q₁ q₂ ) + i(p₁ q₂ + p₂ q₁ )

Some identities are: 

1. z₁ × z₂ = z
2. z₁ × z₂ = z₂ × z₁
3. z₁(z₂ × z₃) = (z₁ × z₂)z₃
4. z₁(z₂ + z₃) = z₁.z₂ + z₁.z₃

• 复数除法

在这个复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂的运算中，因此，要找到 z ₁ /z ₂ ，我们必须将分子和分母与 z ₂的共轭相乘。复数的除法：

令 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂ ，

z ₁ /z ₂ = (p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ )

因此，(p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ ) = [(p ₁ + iq ₁ )(p ₂ – iq ₂ )] / [(p ₂ + iq ₂ )(p ₂ – iq ₂ ) ]

(p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ ) = [(p ₁ p ₂ ) – (p ₁ q ₂ i) + (p ₂ q ₁ i) + q ₁ q ₂ )] / [(p ₂ ² + q ₂ ² )]

(p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ ) = [(p ₁ p ₂ ) + (q ₁ q ₂ ) + i(p ₂ q ₁ – p ₁ q ₂ )] / (p ₂ ² + q ₂ ² )

z₁/z₂ = (p₁p₂) + (q₁q₂) / (p₂² + q₂²) + i(p₂q₁ – p₁q₂) / (p₂² + q₂²) 

执行指示的操作并以标准格式写出答案：12 – 2i/9i？

解决方案：

Given: 12 – 2i/9i

We can write as = 12 – 2i/0 + 9i  

Multiplying with the conjugate of denominators, i.e 0 + 9i = 0 – 9i

= (12 – 2i/0 + 9i) × (0 – 9i)(0 – 9i)

= {(12 – 2i)(0 – 9i)} / {(0 + 9i)(0 – 9i)}

= {0 – 81i – 0 + 18i²} / {0 + 81}

= (-81i – 18)/81

= -18/81 – 81i/81

= -2/9 – 0i

类似问题

问题 1：执行指定的操作并用标准格式 (4 + 2i) 写出答案？

解决方案：

Given: 1/4 + 2i

Multiplying with the conjugate of denominators. i.e 4 + 2i = 4 – 2i

= {1/(4 + 2i)} × (4 – 2i)(4 – 2i)                  

= (-2i + 4) / {16 – (2i)²}

= (4 – 2i)/(16 + 4)

= (4 – 2i) / 20

= 4/20 – 2/20i

= 1/5 – 1/10i

问题 2：执行指定的操作并以标准格式 {(-3 – 5i) / (2 + 2i)} 写出答案？

解决方案：

Given: {(-3 – 5i) / (2 + 2i)}

Conjugate of denominator, 2 + 2i is 2 – 2i

Multiply with the conjugate of denominator,

Therefore {(-3 – 5i) / (2 + 2i)} × {(2 – 2i) / (2 – 2i)}

= {-6 – 6i – 10i +10i²} /  {2² – (2i⁾²} {Difference of squares formula. i.e; (a + b)(a – b) = a² – b²}

= {-6 – 6i – 10i + 10(-1)} / {4 – 4(-1)} {i² = -1}

= {-6 – 6i – 10i – 10} / {4 + 4}        

= -{16 /8 + 16i /8}

= -2 – 2i

问题 3：执行指定的操作并以标准形式 (1 – i)/(1 + 2i) 写出答案？

解决方案：

Given: (1 – i)/(1 + 2i)

Multiply with the conjugate of denominator,

= {(1 – i)/(1 + 2i) × (1 – 2i)/(1 – 2i)}

= {(1 – i)(1 – 2i)} / {(1)² – (2i)²} {Difference of squares formula, i.e; (a + b)(a – b) = a² – b²}

= {1 – 2i – i + 2i²} / {1 – 4(-1)} {i² = -1}

= -1/5 – 3i/5    

问题 4：执行指定的操作，并以标准格式 (3 + 4i) / (3 + 2i) 写出答案。

解决方案：

Given: (3 + 4i) / (3 + 2i)

Multiplying with the conjugate of denominators,

= ((3 + 4i) × (3 – 2i)) / ((3 + 2i) × (3 – 2i))                                            

= (9 – 6i + 12i – 8i²) / {9 – (2i)²}                                                                  

= (17 + 6i) / (13)

= (17 + 6i) / 13

问题 5：执行指定的操作，并以标准格式 (4 + 2i) / (2 + 2i) 写出答案。

解决方案：

Given: (4 + 2i) / (2 + 2i)

Multiplying with the conjugate of denominators,

= ((4 + 2i) × (2 – 2i)) / ((2 + 2i) × (2 – 2i))

= (8 – 8i + 4i – 4i²) / (4 – 4i²)

= (8 – 4i + 4) / 8

= (12 – 4i) / 8

= 12/8 – 4i/8

= 3/2 – 1i/2

问题 6：以 a + bi, 1/(2 – 4i) 的形式表示？

解决方案：

Given: 1/(2 – 4i)

= 1/(2 – 4i) × (2 + 4i)/(2 + 4i)

= (2 + 4i) / {(2)² – (4i)²}

= (2 + 4i) / {4 + 16}

= (2 + 4i) / 20

= 2/20 + (4/20)i

= 1/10 + (1/5)i