DFA补充

DFA (Deterministic Finite Automata) 是一种有限状态自动机，它可以接受一些输入字符并根据内部状态做出反应。在计算机科学中，DFA广泛应用于词法分析器、编译器、串匹配等领域。

DFA的基本概念

DFA包含以下基本概念：

• 状态集合 Q：所有可能的状态。
• 输入字母表 Sigma：所有可能的输入字符。
• 转移函数 delta：如何按状态和输入字符从一个状态到达下一个状态。
• 初始状态 q0：从哪个状态开始处理输入。
• 接受状态集合 F：所有符合要求的状态。

DFA的示例

我们来看一个简单的 DFA 例子，它是一个识别二进制数字是否是偶数的 DFA。

其中：

• 状态集合 Q = {q0, q1}。
• 输入字母表 Sigma = {0, 1}。
• 转移函数 delta(q0, 0) = q0, delta(q0, 1) = q1, delta(q1, 0) = q1, delta(q1, 1) = q0。
• 初始状态 q0。
• 接受状态集合 F = {q0}。

通过图示可以看出，该 DFA 对应的正则表达式为 (0|1)*0。

DFA的实现

我们可以使用状态转移矩阵的方式来实现 DFA，以刚才的偶数判定 DFA 为例：

# DFA定义
class DFA:
    def __init__(self, states: Set[str], alphabets: Set[str], 
                 transition: Dict[Tuple[str, str], str], 
                 start: str, final: Set[str]):
        self.states = states
        self.alphabets = alphabets
        self.transition = transition
        self.start = start
        self.final = final

    # 验证字符串是否满足该DFA的要求
    def verify(self, s: str) -> bool:
        cur = self.start
        for c in s:
            if c not in self.alphabets:
                return False
            cur = self.transition[(cur, c)]
        return cur in self.final

# 构造偶数判定DFA
even = DFA({'q0', 'q1'}, {'0', '1'}, {('q0', '0'): 'q0', ('q0', '1'): 'q1', 
                                      ('q1', '0'): 'q1', ('q1', '1'): 'q0'}, 
           'q0', {'q0'})
           
# 测试偶数判定DFA
assert even.verify('110')
assert not even.verify('111')

值得一提的是，DFA 可以通过正则表达式自动转化得到，称为正则表达式到NFA到DFA过程。也可以通过直接定义每个状态和转移来手动构造 DFA。对于复杂DFA，可能需要更高效的算法来自动构造 DFA。

总结

DFA 是一种强大的工具，它可以帮助我们处理字符串问题。当然，我们还可以通过扩展 DFA 来支持更高阶的处理需求，例如状态无限，状态可以指数式增长的程序，它们在实际应用中也非常重要。