门| GATE CS 模拟测试 2018 |问题 5

这是 Gate CS 2018 模拟测试的第五个问题，这个问题涉及到动态规划的概念和实现。本文将深入探讨这个问题，解释算法的思路并提供完整的代码实现。

问题描述

假设你是一家公司的程序员，公司的几个项目之间存在一些依赖关系。在项目依赖关系的基础上，你需要开发一个程序来实现自动构建。你需要确保代码构建顺序正确，并在时间和空间的限制下完成代码构建。

假设你有n个项目，每个项目都有自己的编号1，2，...，n。对于每个项目i，“Pi”代表要执行的代码文件。有一些项目在相互依赖的情况下必须在其他项目之前完成。依赖关系用一些二元组(u, v)列表来表示，其中u是v的直接前置条件。因此，如果需要继续执行的话，项目u必须首先完成。另外，指定每个项目的代码构建时间。假设时间为Ti。

你的任务是在满足依赖关系和时间约束的情况下构建所有项目的代码文件。编写一个程序以确定执行每个项目的最小时间。

算法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。让我们先定义几个术语：

• 项目表示整个问题中的每个项目和其对应的编号和文件
• 依赖表示一个项目需要在其他项目执行之前，需要先执行的情况
• 拓扑排序表示一个有向无环图的顺序问题

对于这个问题，我们可以将它转化为一个有向无环图（DAG）。一个项目u先于项目v完成的条件是u出现在v之前，并且有一条从u到v的有向边。这样的有向图通常被称为“依赖图”。

我们使用两个数组来解决这个问题：

• Time[]：这个数组记录每个项目的执行时间
• DP[]：这个数组记录在每个时间点的最小总时间

我们可以使用拓扑排序来确定每个项目的执行顺序。首先，我们确定没有依赖关系的项目，然后确定依赖于它们的项目，以此类推，直到处理完所有项目。

对于每个节点u，我们需要找到u之前的节点v和u之前的耗费时间（u之前的耗费时间等于v之前的总耗费时间加上v的执行时间）。这样，我们可以写出以下的转移方程：

DP[u] = max(DP[v] + Time[u])

其中v是u的直接前置条件。

最后，我们只需要在DP数组中找到最大值即可。

代码实现

from collections import defaultdict

def min_build_time(projects, dependencies):
    graph = defaultdict(list)
    Time = [0] * len(projects)
    DP = [0] * len(projects)

    for project, time in projects:
        Time[project-1] = time

    for dependency in dependencies:
        graph[dependency[0]-1].append(dependency[1]-1)

    for node in range(len(projects)):
        if not graph[node]:
            DP[node] = Time[node]

    for node in range(len(projects)):
        for dependency in graph[node]:
            DP[node] = max(DP[node], DP[dependency]+Time[node])

    return max(DP)

if __name__ == "__main__":
    projects = [(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4)]
    dependencies = [(1, 2), (2, 3), (3, 4)]
    print(min_build_time(projects, dependencies))

这个问题是一个经典的动态规划问题，它的时间复杂度为O(m+n)，其中m是依赖数，n是项目数。