金矿问题

金矿问题是动态规划中比较经典的问题之一，通常用来解释动态规划中的思想。

问题描述

假设你是一名挖掘公司的CEO，你想要挖到最多的黄金，你手下有一些矿山，每个矿山要么挖到一定的黄金，要么什么都不挖。你有M个工人可以帮你挖矿，每个矿山需要的工人数量是不同的。由于你手下的矿山数量太多，你没有足够的时间去计算每个工人分配给每个矿山可以挖到的黄金数量，你需要编写一个程序来计算你可以挖到的最大黄金数。

算法设计

使用动态规划解决这个问题，具体算法如下：

1. 定义状态：设dp[i][j]表示前i个矿山中，使用j个工人所能挖到的最大黄金数目。

2. 定义状态转移方程：对于第i个矿山，有两种情况：

   • 不挖第i个矿山，此时dp[i][j] = dp[i-1][j]
   • 挖第i个矿山，此时dp[i][j] = dp[i-1][j-worker[i]] + gold[i]

   综上，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-worker[i]] + gold[i])。

3. 定义初始值：dp[0][0] = 0，表示没有矿山和工人时可以挖到的最大黄金数为0。

4. 定义边界条件：由于矿山和工人数量都是正整数，因此当矿山数量为0时，可以挖到的黄金数为0；当工人数量为0时，可以挖到的黄金数也为0。

最终所求即为dp[n][m]。

代码示例

下面是使用Python实现的代码示例：

def get_max_gold(n, m, gold, worker):
    dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if j >= worker[i]:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-worker[i]] + gold[i])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    return dp[n][m]

其中，n为矿山数量，m为工人数量，gold和worker分别为长度为n+1的列表，分别表示每个矿山的黄金数和所需工人数。