| |问题 6

简介：

“| |”问题也称为“俄罗斯方块问题”，是一个典型的计算几何问题，是计算机科学中的一道经典问题。

它的具体描述是：给定一个 $n\times m$ 的网格图形，其中一些方格已经被填满了，任务是找出最多可以在该网格图形中嵌入多少个没有重叠部分的 $2\times 2$ 的方块。

解法：

这个问题可以使用穷举法、贪心算法或动态规划来解决。

穷举法

穷举法是最为简单暴力的解法，对于每个 $2\times2$ 的方块，都在图形中尝试放置。通过穷举所有可能的放置方式，找到最大不冲突的方块数量。虽然此方法可行，但由于计算量大，对于大型网格显得很慢。

贪心算法

贪心算法是一种采用贪心策略的算法。根据贪心策略，每次取出“最佳”的方块放置在原来图形之上，如果该位置不与当前已放置的其他方块重叠，则将这个方块添加到当前的状态中，否则处理下一个方块。通过采用这样的方式，找出最多可以在该网格图形中嵌入多少个没有重叠部分的 $2\times 2$ 的方块。

动态规划

动态规划是一种通过用已求出的子问题的解，推导出最优解的方法。对于这个问题，可以使用一个 $n\times m\times 3$ 的数组 $dp$ 对当前状态进行建模，其中 $dp[i][j][k]$ 表示在网格图形的第 $i$ 行，第 $j$ 列，状态为 $k$ (0 表示没有放置方块，1 表示在该位置放置了右下角块，2 表示在该位置放置了左下角块，3 表示在该位置放置了上右角块)，时可以嵌入的最大方块数目。通过分析可能的转移情况，得到状态转移方程为：

$$dp[i][j][0]=\max(dp[i-1][j][1],dp[i][j-1][2],dp[i-1][j-1][3],dp[i][j][0])$$

$$dp[i][j][1]=\max(dp[i-1][j][1],dp[i-1][j][0])+1$$

$$dp[i][j][2]=\max(dp[i][j-1][2],dp[i][j-1][0])+1$$

$$dp[i][j][3]=\max(dp[i-1][j-1][1],dp[i-1][j-1][2],dp[i-1][j-1][3])+1$$

总结

以上是三种解决“| |”问题的方法。穷举法对于小规模网格适用，但是对于大规模网格时间复杂度过高。贪心算法对于大规模的“| |”问题有良好的表现，但并不是一直最优解。动态规划对于大规模“| |”问题有着较好的解决方式，但是计算量也较大。根据具体情况可以采用适合的算法。