国际空间研究组织 | ISRO CS 2007 |问题 50

这是一个关于国际空间研究组织（ISRO）在2007年的计算机科学考试题目。题目共有50个。

题目描述

给定一个整数n，编写一个程序来计算从1到n的所有整数中数字1出现的次数。

例如，如果n为12，则数字1将出现5次，因为1,10,11和12中都包含数字1。

思路

这是一道纯数学题目，需要找出一个通用的公式来计算从1到n的所有整数中数字1出现的次数。首先，我们需要理解每一位数字上出现数字1的规律。

• 个位上数字1出现的次数: $\lfloor \frac{n}{10} \rfloor + (n \mod 10 \geq 1 ? 1 : 0)$
• 十位上数字1出现的次数: $\lfloor \frac{n}{100} \rfloor \times 10 + (\lfloor \frac{n}{10} \rfloor \mod 10 \geq 1 ? n \mod 10 + 1 : 0 )$
• 百位上数字1出现的次数: $\lfloor \frac{n}{1000} \rfloor \times 100 + (\lfloor \frac{n}{100} \rfloor \mod 10 \geq 1 ? n \mod 100 + 1: 0)$
• 以此类推...

可以看到，每个数字位上数字1的出现次数都与$n$和已知的前几位数字位上数字1的出现次数有关，因此可以使用递归计算。具体步骤如下：

1. 递归结束条件：当$n$为0时，返回0。
2. 计算$n$的位数$d$，并计算$\lfloor \frac{n}{10^d} \rfloor$。
3. 递归计算$\lfloor \frac{n}{10^d} \rfloor$的数字1出现次数。
4. 计算当前数字位上数字1出现的次数。
5. 递归计算$n \mod 10^d$的数字1出现次数。
6. 返回递归计算的三个结果之和。

代码实现

def count_ones(n):
    if n == 0:
        return 0
    digits = len(str(n))
    div = 10 ** (digits - 1)
    first_digit = n // div
    ones = count_ones(div - 1) * first_digit
    if first_digit == 1:
        ones += n % div + 1
    ones += count_ones(n % div)
    return ones

该代码段实现了以上的递归计算方法，并返回从1到$n$的所有整数中数字1出现的次数。