矩阵的基本运算

矩阵是数字的矩形网格，由携带数据的数字以及数学方程的表达式组成。矩阵是计算机工程应用中常用的运算，用于获得近似计算。此外，计算操作它们通常用于绘制图形、科学研究、数据表示和现实生活中的统计

Matrix is a branch of linear algebra that involves the systematic arrangement of numbers in rows and columns as per the linear equation in the form of a rectangular grid.

伟大的数学家 Arthur Cayley 是矩阵之父，他于 1858 年提出了该理论。它具有用于排列数字的行和列等维度。矩阵中涉及的每个数字都称为矩阵的元素。

矩阵类型

• 空矩阵：所有元素都为零的矩阵称为空矩阵或零矩阵。一般用“0”表示。那么，如果对于 i 和 j 的所有元素 a _ij = 0

$0=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$

• 三角矩阵：主对角线以上或以下元素为三角矩阵的方阵。如果主对角线以上的元素为零，则它是下三角矩阵，如果主对角线以下的元素为零，则它是上三角矩阵。

看看下面给出的下三角矩阵和上三角矩阵，

$A=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&4&0\\3&5&6\end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix}1&5&6\\0&2&4\\0&0&3\end{bmatrix}$

• 列矩阵：只有一列的矩阵称为列矩阵。列矩阵的阶数总是被视为 m×1。

$A=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}$

• 行矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵。矩阵的阶总是被视为 1Xn。

$A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\end{bmatrix}$

• 水平矩阵： m×n 的行和列的矩阵是水平矩阵。在水平矩阵中，列数需要大于行数（n>m）。

$A=\begin{bmatrix}5&1&6&4\\2&1&3&2\end{bmatrix}$

• 垂直矩阵： m×n行和列的矩阵是垂直矩阵。在垂直矩阵中的行数需要大于列数（m>n）。

$A=\begin{bmatrix}1&2\\2&5\\3&1\\4&1\end{bmatrix}$

• 单位矩阵：当矩阵中主对角线的所有元素都为1时，则称该矩阵为单位矩阵或单位矩阵。

$I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

• 对角矩阵：如果方阵中除主对角线外的所有元素都为零，则称为对角矩阵。

$A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}$

• 对称矩阵：对于所有 i 和 j 的值，一个_ij =a _ji的方阵称为对称矩阵。

$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}$

初等矩阵运算

通常，对矩阵的行和列执行三种已知的基本矩阵运算。对行执行的操作称为基本矩阵行操作。而对列执行的操作称为基本矩阵列操作。

行的三种不同的基本矩阵运算是：

1. 交换两行
2. 将一行乘以一个数字
3. 将一行添加到另一行

并且，列的三个基本矩阵运算是：

1. 交换柱
2. 将一列乘以一个数字
3. 将一列添加到另一列

现在，让我们看看这些操作是如何执行的。

基本矩阵行操作

为了执行基本的行操作，假设一个矩阵 A _r×c将是 A _3×3 。

让$A=\begin{bmatrix}2&4&5\\4&8&3\\7&1&2\end{bmatrix}$

交换两行

这个操作可以通过交换矩阵中任意两行的位置来进行。它由 R ₁ <=> R _{2 表示。}

交换矩阵的行$A=\begin{bmatrix}2&4&5\\4&8&3\\7&1&2\end{bmatrix}$

因此，R ₁ <=>R ₂将是

$\begin{bmatrix}2&4&5\\4&8&3\\7&1&2\end{bmatrix}\leftrightarrow\begin{bmatrix}4&8&3\\2&4&5\\7&1&2\end{bmatrix}$

这里，第 1 行被第 2 行替换，第 2 行被 1 替换。而第 3 行保持不变。

将一行乘以一个数字

可以通过将行与将替换行的元素的非零常数相乘来执行此操作。

让给定矩阵 A= 的第 2 行相乘$\begin{bmatrix}2&4&5\\4&8&3\\7&1&2\end{bmatrix}$ 2。

因此，R ₂ <=>2R ₂将是

$\begin{bmatrix}2&4&5\\4×2&8×2&3×2\\7&1&2\end{bmatrix}\leftrightarrow\begin{bmatrix}2&4&5\\8&16&6\\7&1&2\end{bmatrix}$

在这里，第 2 行被自己替换了 2 次。

将一行添加到另一行

可以通过将矩阵中的任何一行与另一行相加来执行此操作。矩阵的其余行保持不变。可以表示为 R ₁ +R ₂ <=>R ₂

让我们对第 1 行和第 3 行求和以替换给定矩阵中第 3 行的元素。

$\begin{bmatrix}2&4&5\\4&8&3\\7+2&1+4&2+5\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}2&4&5\\4&8&3\\9&5&7\end{bmatrix}$

这里，第 3 行被第 1 行和第 3 行的总和替换。而第 1 行和第 2 行保持不变。

初等矩阵列操作

为了执行基本矩阵列操作，让我们假设一个矩阵 A _r×c将是 A _3×3 。

让$\begin{bmatrix}1&2&4\\0&2&4\\0&3&5\end{bmatrix}$

交换两列

这个操作可以通过交换矩阵任意两列的位置来进行。它由 C ₁ <=>C ₂表示。

交换矩阵的列

$A=\begin{bmatrix}1&2&4\\0&2&4\\0&3&5\end{bmatrix}$

因此，C ₁ <=>C ₂将是

$\begin{bmatrix}1&2&4\\0&2&4\\0&3&5\end{bmatrix}\leftrightarrow\begin{bmatrix}2&1&4\\2&0&4\\3&0&5\end{bmatrix}$

这里，第 1 列被第 2 列替换，第 2 列被 1 替换。而第 3 列保持不变。

将一列乘以一个数字

可以通过将列与将替换列元素的非零常数相乘来执行此操作。

让我们将给定矩阵的第 2 列相乘

$A=\begin{bmatrix}1&2&4\\0&2&4\\0&3&5\end{bmatrix}$

因此，2C ₂ =>C ₂将是

$\begin{bmatrix}1&2×2&4\\0&2×2&4\\0&3×2&4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&4&4\\0&4&4\\0&6&5\end{bmatrix}$

这里，第 2 列被其自身替换了 2 次。

将一列添加到另一列

可以通过将矩阵中的任何一列与另一列相加来执行此操作。矩阵的其余列保持不变。可以表示为 C ₁ + C ₂ = C ₂

让我们对第 1 列和第 2 列求和，以替换给定矩阵中第 2 列的元素。

$A=\begin{bmatrix}1&2&4\\0&2&4\\0&3&5\end{bmatrix}$

因此，C ₁ +C ₂ =C ₂将是

$\begin{bmatrix}1&2+1&4\\0&2+0&4\\0&3+0&5\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&3&4\\0&2&4\\0&3&5\end{bmatrix}$

在这里，第 2 列被第 1 列和第 2 列的总和替换。而第 1 列和第 3 列保持不变。

类似问题

问题 1：对给定矩阵执行 R ₁ <=>R ₂运算。

$A=\begin{bmatrix}1&5&6\\0&2&4\\0&0&3\end{bmatrix}$

解决方案：

The indication R₁<=>R₂  means to interchange rows 1 and 2 with each other.

So, the matrix $A=\begin{bmatrix}1&5&6\\0&2&4\\0&0&3\end{bmatrix}\leftrightarrow\begin{bmatrix}0&2&4\\1&5&6\\0&0&3\end{bmatrix}$

In the given operation, row 1 replaces row 2 and row 2 replaces row 1. Whereas, row 3 remains unchanged.

问题 2：对给定矩阵执行操作 C ₂ <=>C ₃ 。

$A=\begin{bmatrix}2&3&0\\4&5&9\\6&6&1\end{bmatrix}$

解决方案：

The indication C₂<=>C₃ means to interchange columns 2 and 3 with each other.

so the matrix will become

$\begin{bmatrix}2&3&0\\4&5&9\\6&6&1\end{bmatrix}\leftrightarrow\begin{bmatrix}2&0&3\\4&9&5\\6&1&6\end{bmatrix}$

In the given operation, column 2 replaces 3 and column 3 replaces 2. Whereas, column 1 remains unchanged.

问题 3：对给定矩阵执行行操作 3R ₁ =>R ₁ 。

$\begin{bmatrix}2&4&6\\0&9&1\\3&5&6\end{bmatrix}$

解决方案：

The indication 3R₁=> R₁ means to multiply row 1 with a non-zero constants that is 3 to replace the elements of row 1.

$\begin{bmatrix}2×3&4×3&6×3\\0&9&1\\3&5&6\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}6&12&18\\0&9&1\\3&5&6\end{bmatrix}$

In the given operation the 3 times of 1 row replaces the elements of row 1. Whereas, row 2 and 3 remains constant.

问题 4：对给定矩阵执行列运算 2C ₂ =>C ₂ 。

$\begin{bmatrix}7&4&8\\2&6&5\end{bmatrix}$

解决方案：

The indication 2C₂=>C₂ means to multiply column 2 with a non-zero constant that is 2 to replace the elements of column 2.

$\begin{bmatrix}7&4×2&8\\2&6×2&5\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}7&8&8\\2&12&5\end{bmatrix}$

In the given operation the 2 times of column 2 replaces the elements of column 2. Whereas, column 1 remains unchanged.

问题 5：对给定矩阵执行行操作 R ₁ +R ₂ =>R ₂ 。

$\begin{bmatrix}3&4&6\\2&5&3\end{bmatrix}$

解决方案：

The indication R₁+R₂=>R₂ means to replace the elements of row 2 with the sum of rows 1 and 2.

$\begin{bmatrix}3&4&6\\2+3&5+4&3+6\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}3&4&6\\5&9&9\end{bmatrix}$ 

In the given operation the elements of row 2 is replaced by the sum of rows 1 and 2.

问题 6：对给定矩阵执行列操作 C ₁ +C ₃ =>C ₃ 。

$\begin{bmatrix}7&1&2\\4&8&3\\2&4&5\end{bmatrix}$

解决方案：

The indication C₁+C₃=>C₃ means to replace the elements of column 3 with the sum of columns 1 and  3.

$\begin{bmatrix}7&1&2+7\\4&8&3+4\\2&4&5+2\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}7&1&9\\4&8&7\\2&4&7\end{bmatrix}$

In the given operation the elements of the column 3 is replaced by the sum of columns 1 and 3.