复合函数的导数

导数是微积分的重要组成部分。它们帮助我们计算函数的变化率、最大值、最小值。根据定义，导数是通过使用极限给出的，这称为导数的第一形式。我们已经知道如何计算标准函数的导数，但有时我们需要处理由两个以上函数组成的复杂数学函数。以蛮力的方式计算这些函数的导数变得既困难又麻烦。了解使我们的计算更容易的规则和方法变得至关重要。链式法则就是其中之一，它允许我们计算复杂函数的导数。让我们正式看看这个规则。

复合函数和链式法则

假设我们有一个函数f(x) = (x + 1) ² ，我们要为其计算导数。这些类型的函数称为复合函数，这意味着它们由多个函数组成。通常，它们的形式为 g(x) = h(f(x)) 或者也可以写成 g = hof(x)。在我们的例子中，给定的函数f(x) = (x + 1) ²由两个函数组成，

f(x) = g(h(x)) where g(x) = x² and h(x) = x + 1. 

例如，

f(x) = (x + 1) ²

⇒ f(x) = x ² + 1 + 2x

将函数对 x 进行微分，

f'(x) = 2x + 1

这个函数可以通过完全的二项展开来微分，但是如果二项指数的值越来越高，每次展开再微分就变得困难了。在这些情况下，链式规则变得至关重要。

链式法则

令 f 是一个实值函数，它是两个函数“u”和“v”的复合，即 f = vo u。假设 t = u(x) 如果两者都$\frac{dv}{dt}$ 和 $\frac{dt}{dx}$ 函数“u”和“v”都存在。

$\frac{df}{dx} = \frac{dv}{dt}\frac{dt}{dx}$

链式法则可以扩展到任意数量的复合函数。例如，

f = (wou) o v。如果 t = v(x) 且 s = u(t) 那么，

$\frac{df}{dx} = \frac{d(w o u)}{dx}. \frac{dt}{dx} = \frac{dw}{ds}\frac{ds}{dt}\frac{dt}{dx}$

假设我们有一个函数f(x) = sin(x ² )

该函数是由两个函数组成的复合函数。如果 t = u(x) = x ²且 v(t) = sin(t)，则

f(x) = (vou)(x) = v(u(x)) = v(x ² ) = sin x ² ,

把 t = u(t) = x ² 。 $\frac{dv}{dt} = cos(t)$和$\frac{dt}{dx} = 2x$存在。因此，根据链式法则，

$\frac{df}{dx} = \frac{dv}{dt}\frac{dt}{dx} = cos(t).2x$

$\frac{df}{dx} = cos(x^2).2x$

链式法则的另一种方法（使用链式法则找到导数的捷径）

链式法则也可以通过快捷方式来应用。这是用一个例子来解释的，假设我们有一个函数f(x) = (sin(x)) ² 。一般来说，我们并没有真正使用函数的组合方法来区分函数。我们区分“内部函数”和“外部函数”。然后，区分外部函数，只留下内部函数，并在层次结构中继续这样。

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}sin^2x$

⇒$\frac{df}{dx} = 2sin(x)\frac{d}{dx}sinx$

⇒$\frac{df}{dx} = 2sin(x)(cos(x))$

⇒$\frac{df}{dx} = 2sin(x)cos(x)$

通常，这种快捷方法用于轻松计算不同函数的导数。

让我们看看这个规则的一些问题，

示例问题

多项式函数和复合函数的链式导数问题

问题 1：求函数f(x) = (x + 2) ²的导数。

解决方案：

This function is composite function, 

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x + 1)^2$

⇒$\frac{df}{dx} = 2(x + 1)\frac{d}{dx}(x + 1)$

⇒$\frac{df}{dx} = 2(x + 1)$

问题 2：求函数f(x) = (x ⁶ + x ² + 1) ¹⁰的导数

解决方案：

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x^6 + x^2 + 1)^{10}$

⇒ $\frac{df}{dx} = 10(x^6 + x^2 + 1)^9\frac{d}{dx}(x^6 + x^2 + 1)$

⇒ $\frac{df}{dx} = 10(x^6 + x^2 + 1)^9(\frac{d}{dx}x^6 + \frac{d}{dx}x^2)$

⇒$\frac{df}{dx} = 10(x^6 + x^2 + 1)^9(6x^5 +2x)$

问题 3：求函数f(x) = (x ² + 1) ⁵的导数

解决方案：

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + 1)^{5}$

⇒ $\frac{df}{dx} = 5(x^2 + 1)^4\frac{d}{dx}( x^2 + 1)$

⇒ $\frac{df}{dx} = 5(x^2 + 1)^4(\frac{d}{dx}( x^2))$

⇒$\frac{df}{dx} = 5(x^2 + 1)^4(2x)$

⇒$\frac{df}{dx} = 10x(x^2 + 1)^4$

使用链式法则的函数导数问题

问题 4：求函数f(x) = sin(tanx + 5) 的导数。

解决方案：

 f(x) = sin(tanx + 5)

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx} sin(tan(x) + 5)$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = cos(tan(x) + 5)\frac{d}{dx}(tan(x) + 5)$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = cos(tan(x) + 5)\frac{d}{dx}(tan(x))$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = cos(tan(x) + 5)sec^2(x)$

使用链式法则的幂函数导数问题

问题 5：求函数f(x) = e ^{(2x + 5)}的导数。

解决方案：

 f(x) = e^{(2x + 5)}

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{(2x +5)})$

⇒$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{(2x +5)})$

⇒$\frac{df}{dx} = e^{(2x +5)}\frac{d}{dx}(2x + 5)$

⇒$\frac{df}{dx} = e^{(2x +5)}2$

⇒$\frac{df}{dx} = 2e^{(2x +5)}$

使用链式法则的模函数导数问题

问题 6：求函数f(x) = | 的导数x + 1 |。

解决方案：

Let’s say f(x) = |x + 1|. 

We know that modulus functions such |x| represent √x². So, each modulus function can be transformed like this to find the derivative. 

f(x) = $\sqrt{(x+1)^2}$

$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{(x + 1)^2}$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2}}\frac{d}{dx}(x + 1)^2$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{(x + 1)^2}}$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{(x + 1)^2}}$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{|x + 1|}$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{|x + 1|}$

When x > -1 |x + 1| = x + 1, thus $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{x + 1} = 1$

When x < -1 |x + 1| = -(x + 1), thus $\frac{d}{dx}f(x) = \frac{x + 1}{-(x + 1)} = -1$

When x = -1, the derivative is not defined. 

问题 7：求函数f(x) = | 的导数2x – 1 |。

解决方案：

Let’s say f(x) = |2x – 1|. 

f(x) = $\sqrt{(2x-1)^2}$

$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{(2x - 1)^2}$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}\frac{d}{dx}(2x - 1)^2$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}2(2x - 1)\frac{d}{dx}(2x-1)$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}2(2x - 1).2$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = 2\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}(2x - 1)$

⇒$\frac{d}{dx}f(x) = 2\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}(2x - 1)$

When x > $\frac{1}{2}$ |2x – 1| = 2x – 1, thus $\frac{d}{dx}f(x) = 2\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}(2x - 1) = 2$

When x < $\frac{1}{2}$ |2x – 1| = -(2x – 1), thus $\frac{d}{dx}f(x) = 2\frac{1}{\sqrt{(2x - 1)^2}}(2x - 1)= -2$

When x = $\frac{1}{2}$, the derivative is not defined.