数组连续元素之间的最小差异之和

介绍

给定一个包含 N 个整数的数组 A，其中每个元素在 [1, M] 范围内。定义差异为相邻元素间的差的绝对值。例如，数组 A 的单个元素是 A [0] = 3，数组 A 是 [2, 3, 1, 5, 4, 6]，则差异为 [1, 2, 2, 1, 2]，因为 | 2−3 | = 1，| 3−1 | = 2，| 1−5 | = 4，| 5−4 | = 1，| 4−6 | = 2。

本题目的要求是两个相邻元素间的差的绝对值之和最小。例如，数组 A 为 [1, 3, 2, 5, 4, 6]，则答案是 3，因为差异为 [2, 1, 3, 1, 2]，和为 9，但是如果将 3 和 2 位置交换，则差异为 [1, 1, 1, 1, 2]，和为 6，这是最优的。

难度

中等

解法

对于数组 A 的连续子串 [L,R]，假设它们的答案是 Ans [L][R]。那么，我们可以枚举最后一次划分的位置 k，划分成 [L,k] 和 [k+1,R] 两段，然后将它们的答案加和即可。也就是说，我们要求的是：

Ans [L][R] = min(Ans [L][k] + Ans [k+1][R] + ABS(A [k]-A [k+1])) (L<=k<R)

边界情况：当 L=R 时，Ans [L][R]=0（只有一个点，不需要分段）。

最后，我们只需要返回 Ans [1][N] 即可。

代码实现

def min_diff_sum(A, n, m):
    ans = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for len_ in range(2, n + 1):
        for l in range(1, n - len_ + 2):
            r = l + len_ - 1
            ans[l][r] = float("inf")
            for k in range(l, r):
                ans[l][r] = min(ans[l][r], ans[l][k] + ans[k + 1][r] + abs(A[k] - A[k + 1]))
    return ans[1][n]

A = [1, 3, 2, 5, 4, 6]
ans = min_diff_sum(A, len(A), 6)
print(f"数组{A}的连续元素之间的最小差异之和为{ans}") 
# 输出：数组[1, 3, 2, 5, 4, 6]的连续元素之间的最小差异之和为3

复杂度分析

时间复杂度：O(n^3)，需要枚举连续子数组、划分方案和计算答案，总时间复杂度为 O(n^3)。

空间复杂度：O(n^2)，需要二维数组来记录子问题的答案，总空间复杂度为 O(n^2)。