计算数组中元素的最小差异总和

有时候我们需要对一个数组中的元素进行处理，但是我们又希望这些元素之间的差异最小。这时我们就需要计算这些元素的最小差异总和。

问题

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$，找到一个长度为 $n$ 的序列 $b$，满足：

1. 序列 $b$ 中的元素唯一且为 $a$ 数组中的元素。
2. 所有相邻元素的差的绝对值之和最小。

解决方案

动态规划

对于数组中的任意一个元素 $a_i$，我们可以选择将其放在序列 $b$ 的任意一个位置 $j$ 上，即 $b_j=a_i$。那么序列 $b$ 中元素的相对顺序就确定了。由此，可以列出如下的递推方程：

$$ dp[i][j] = \min{dp[i-1][k]+|a[i]-a[j]|}, ; 1 \leq j \leq n $$

其中 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个元素中，以 $a_j$ 结尾的子序列的最小差异总和。上式的含义是将第 $i$ 个元素放在 $j$ 的位置上，能够得到的最小差异总和。

那么，最终的最小差异总和，就是 $dp[n][j]$ 中的最小值。

代码如下：

def minimum_difference_sum(a):
    n = len(a)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(1, n): # 枚举每一个元素
        for j in range(i): # 枚举每一个位置
            dp[i][j] = min(dp[i-1][k] + abs(a[i]-a[j]) for k in range(j, i))
    return min(dp[n-1])

暴力枚举

另一种计算最小差异总和的方法是暴力枚举。对于一个长度为 $n$ 的数组 $a$，其所有可能的排列共有 $n!$ 种。因此，暴力枚举的时间复杂度为 $O(n!)$，无法处理规模较大的问题。

代码如下：

import itertools

def minimum_difference_sum(a):
    n = len(a)
    min_sum = float('inf')
    for b in itertools.permutations(a):
        sum = 0
        for i in range(1, n):
            sum += abs(b[i]-b[i-1])
        min_sum = min(min_sum, sum)
    return min_sum

总结

对于求解数组中元素的最小差异总和，我们介绍了两种方法：动态规划和暴力枚举。其中，动态规划时间复杂度为 $O(n^2)$，能够处理规模较大的问题；暴力枚举时间复杂度为 $O(n!)$，仅适用于规模较小的问题。

在实际使用中，应根据问题的规模和复杂度要求选择合适的方法。