定积分|数学

定积分是不定积分之后的扩展，定积分有极限[a,b]。它给出了给定界限之间的曲线面积。

$\int_{a}^{b}F(x)dx$ , 它表示在 a 和 b 之间的曲线 F(x) 的面积，其中 a 是下限，b 是上限。

注意：如果f是在闭区间 [a, b] 上定义的连续函数，并且 F 是 f 的反导数。然后$\int_{a}^{b}f(x)dx= \left [ F(x) \right ]_{a}^{b}\right = F(b)-F(a)$
这里，函数f需要在 [a, b] 中定义明确且连续。

例子： $Find, \int_{1}^{4}x^{2}dx ?$

解决方案：

$Since, \int x^{2}=\frac{x^{3}}{3} \newline \newline \textup{Then F(x)} =\frac{x^{3}}{3} \newline \newline [F(x)]_{1}^{4}= F(4)-F(1) \newline \newline =[\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}]=\frac{65}{3}$

定积分的性质 –

1. $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt$
2. $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$
3. $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$
4. $\int_{a}^{b}f(x)=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$
5. $\int_{0}^{b}f(x)=\int_{0}^{b}f(b-x)dx$
6. $\int_{0}^{2a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(2a-x)dx$
7. $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx, \textup{if f(x) is even function i.e f(x)=f(-x)}$
8. $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0, \textup{if f(x) is odd function}$

这些性质可以直接用于求特定定积分的值，也可以根据需要与其他形式互换。

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