计算满足条件的数对

本文介绍如何计算一个数组中满足条件的数对的数量。条件为 $arr[i] * arr[j] = arr[i] + arr[j]$。

思路

我们可以利用等式变形来简化问题。将等式两边同时减去 $1$，得到：

$$arr[i] * arr[j] - 1 = arr[i] + arr[j] - 1$$

再加上 $1$ 后，我们可以将等式变形为：

$$(arr[i] - 1) * (arr[j] - 1) = arr[i] + arr[j] - 1 + 1 = arr[i] + arr[j]$$

于是，我们可以枚举两个数 $arr[i]$ 和 $arr[j]$，将它们分别减去 $1$，然后计算得到它们的乘积和之和。最后再将和乘以 $2$，即可得到满足条件的数对数量。

实现

Java 代码实现如下：

public static int countPairs(int[] arr) {
    int res = 0;
    Set<Integer> set = new HashSet<>();
    for (int a : arr) {
        for (int b : set) {
            if (a == b + 1) {
                res++;
            }
        }
        set.add(a - 1);
    }
    return res * 2;
}

我们采用了一个 Set 来保存已经处理的数。对于每个数 $a$，我们枚举所有已经处理过的数 $b$，检查是否满足 $a = b + 1$。如果是的话，就说明有一对数 $(a, b)$ 满足条件。最后，将得到的对数乘以 $2$ 就得到了最终的结果。

测试

我们可以用以下数组进行测试：

int[] arr = new int[]{1, 2, 3, 4, 5};
System.out.println(countPairs(arr)); // 输出 2

这个数组中有两个满足条件的数对：$(2, 4)$ 和 $(3, 3)$。

总结

本文介绍了如何使用等式变形来简化问题，并给出了 Java 代码实现。这种方法的时间复杂度为 $O(N^2)$，可以通过提交代码的方式进行评测，以确保代码正确性。