Parzen Windows 密度估计技术

Parzen Window是一种非参数密度估计技术。模式识别中的密度估计可以通过使用 Parzen Windows 的方法来实现。 Parzen窗口密度估计技术是直方图技术的一种推广。

它用于导出密度函数， ${ f(x)$ .
${ f(x)$用于实现贝叶斯分类器。当我们有一个新的样本特征时$x$当需要计算类条件密度的值时， ${ f(x)$用来。
${ f(x)$获取样本输入数据值并返回给定数据样本的密度估计。

考虑一个 n 维超立方体，假设它拥有 k 个数据样本。
假设超立方体的边长为 h _n 。

因此超立方体的体积为： V _n = h _n ^d

我们定义了一个超立方体窗口函数φ(u) ，它是一个以原点为中心的单位超立方体的指示函数：
φ(u) = 1如果 |u _i | <= 0.5
φ(u) = 0否则
这里，u 是一个向量， u = (u ₁ , u ₂ , ..., u _d ) ^T 。
φ(u)应满足以下条件：

1. $\varphi\((u) >= 0 ; \forall u$
2. $\int_{R^{d}}^{} \varphi\((u).du = 1$

让$V = \int_{R^{d}}^{} \varphi\( \frac{u}{h} \))du = \int_{R^{d}}^{} \varphi\ (\frac{u-u_{0}}{h} \))du$

由于 φ(u) 以原点为中心，因此它是对称的。
φ(u) = φ(-u)

• $\varphi\(\frac{(u-u_{0})}{h}\)$是一个大小为 h 的超立方体，以u ₀为中心
• 令 D = {x ₁ , x ₂ , ..., x _n }为数据样本。
• 对于任何$x, \varphi\(\frac{(x-x_{i})}{h}\)$只有当$x_{i}$落在一个超立方体的边上$h$以$x$ .
• 因此，落在以 x 为中心的 h 侧超立方体中的数据点数为$k =\(\sum_{i=1}^{n}\varphi\(\frac{(x-x_{i})}{h}\)$

因此估计的密度函数为：

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
 

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

此外，由于V _n = h _n ^d ，密度函数变为：
${\LARGE f(x) = \( \frac{1}{n} \) \(\sum_{i=1}^{n}\) \( \frac{1}{V} \) \varphi\(\frac{(x-x_{i})}{h}\) }$

$f(x)$将满足以下条件：

1. $f(x) >= 0 ; \forall x$
2. $\int_{}^{} f(x).dx = 1$