门| GATE-CS-2000 |问题2

该问题是2022门考试中的一个计算机科学问题。它要求我们找到一个有效的算法将有向无环图（DAG）的所有节点线性排序，使得每个节点在排序中都应首次出现，并且对于每个有向边(i,j)，在排序中i都应该在j之前。这在许多应用中是一个重要的问题，例如编译器构建，任务计划和目标驱动设计等。

解决方案：

该问题可以使用拓扑排序算法（Topological Sorting Algorithm）来解决。这个算法通过在DAG上选择任意一个没有前驱的顶点并删除它的出边来进行排序。因为DAG不存在环，所以如果我们不断地选择没有前驱的顶点并删除它的出边，直到我们没有剩下的顶点时，我们将获得DAG的一个有效的线性排序。

下面是GATE-CS-2000的算法伪代码：

L <-  Empty List that will contain the sorted nodes
S <-  Set of all nodes with no incoming edge

while S is non-empty do
     remove a node n from S
     add n to L
     for each node m with an edge e from n to m do
         remove edge e from the graph
         if m has no other incoming edges then
             add m to S

if graph has edges then
    return error (graph has at least one cycle)
else 
    return L (a topologically sorted order)

算法分析：

• 时间复杂度：O(|E|+|V|)，其中|E|是边的数量，|V|是节点的数量。
• 空间复杂度：O(|V|)，其中|V|是节点的数量。

示例代码：

def topological_sort(graph):
    # Step 1: Compute in-degree of each vertex
    in_degree = {v: 0 for v in graph}
    for v in graph:
        for neighbor in graph[v]:
            in_degree[neighbor] += 1

    # Step 2: Initialize queue with vertices with zero in-degree
    queue = [v for v in in_degree if in_degree[v] == 0]

    # Step 3: Process each vertex in the queue
    result = []
    while queue:
        v = queue.pop(0)
        result.append(v)

        # Update in-degree of neighbors
        for neighbor in graph[v]:
            in_degree[neighbor] -= 1
            if in_degree[neighbor] == 0:
                queue.append(neighbor)

    # If the graph has edges, it is not DAG
    if len(result) != len(graph):
        return None
    else:
        return result

以上是一个基于python的示例代码，实现给定DAG的节点的拓扑排序。您可以使用该函数将节点线性排序并输出结果。