门 | GATE-CS-2000 | 问题4 简介

这是一道来自 GATE-CS-2000 的问题4。这道题的考点主要是图论相关算法，需要对图的性质有深入的认识。

问题描述

给定一个无向的联通图 $G=(V,E)$，假设 $G$ 不包含环。请编写一个算法，将 $G$ 分成两个集合 $V_1$ 和 $V_2$ 使得对于每个 $e\in E$，$e$ 的两个端点要么都在 $V_1$ 中，要么都在 $V_2$ 中，同时 $V_1$ 和 $V_2$ 中都至少有一个节点。同时，请证明你的算法的正确性。

算法思路

我们可以通过图的染色来实现对 $G$ 的分割。首先随意选择一个节点 $v$，将其染成黑色，然后将 $v$ 的所有邻居染成白色，再将邻居的邻居全部染成黑色，以此类推。最终将 $G$ 中所有节点染成黑色和白色两种颜色。这样就将 $G$ 分成了两个集合 $V_1$ 和 $V_2$。

具体实现时，我们可以采用 BFS 或 DFS 的算法，对每个节点进行染色，同时记录每个节点的颜色。如果在染色的过程中出现任意一个不同颜色的邻接节点，则说明 $G$ 不符合要求，直接返回无法分割。否则，最终得到的 $V_1$ 和 $V_2$ 集合就是符合要求的。同时，$V_1$ 和 $V_2$ 中都至少有一个节点的证明也很简单，因为 $G$ 是连通的，所以随便选择一个节点染色后，所有节点都会被染成黑色或白色，即这两个集合中都有节点。

算法实现

下面是使用 BFS 实现的算法：

def bipartite_graph(G, n):
    color = [-1] * n
    color[0] = 1
    q = [0]
    while len(q) > 0:
        u = q.pop(0)
        for v in G[u]:
            if color[v] == -1:
                color[v] = 1 - color[u]
                q.append(v)
            elif color[v] == color[u]:
                return False
    if color.count(0) == 0 or color.count(1) == 0:
        return False
    return True

算法复杂度

使用 BFS 或 DFS 实现都可以达到 $O(|V|+|E|)$ 的时间复杂度。因为需要遍历所有节点和边，所以不能做到更优。

算法正确性证明

首先我们证明 $V_1$ 和 $V_2$ 中都至少有一个节点。根据算法思路，在染色过程中，我们选择了任意一个节点 $v$，将其染成黑色，然后将与 $v$ 相邻的所有节点全部染成白色，以此类推。因为图是连通的，所以最终所有节点都会被染上黑色或白色的颜色。因此，$V_1$ 和 $V_2$ 中都至少有一个节点。

然后我们证明对于每个 $e\in E$，$e$ 的两个端点要么都在 $V_1$ 中，要么都在 $V_2$ 中。考虑反证法，假设存在一条边 $e=(u,v)$，$u\in V_1$，$v\in V_2$，则有 $color[u] \neq color[v]$。但是根据染色的过程，$u$ 和 $v$ 是相邻的节点，因此必须被染成不同的颜色，即 $color[u] = 1-color[v]$。这与假设 $color[u] \neq color[v]$ 矛盾，因此假设不成立，即对于每个 $e\in E$，$e$ 的两个端点要么都在 $V_1$ 中，要么都在 $V_2$ 中。

总结

这是一道比较经典的图论问题，对于数据结构和算法的理解有很大的帮助。需要掌握 BFS 或 DFS 的实现，同时在讲解算法的正确性时要善于使用反证法。