将 8640 除以使商是一个完整的立方数的最小数是多少？

数字系统是一种通过书写显示数字的方法，它是一种数学方式，通过以数学方式使用数字或符号来表示给定集合的数字。以逻辑方式使用数字或符号来表示数字的书写系统被定义为数字系统，它表示一组有用的数字，也反映一个数字的算术和代数结构，并提供标准表示。

质因数分解

这是一个根据素数分解数字的过程，即因子将是素数。以下是一些主要的因式分解概念，

首先，找到一个数的质因数的最简单算法是继续将原始数除以质因数，直到我们得到等于 1 的余数。例如，对我们得到的数字 70 进行质数因式分解， 70/2 =35 ， 35/5 = 7, 7/7 = 1。由于我们收到了余数，因此无法进一步分解。因此，70 = 2 x 5 x 7，其中 2、5 和 7 是质因数。很少有素数是 2、3、5、7、11、13、17、19 等等。这些素数与任何自然数相乘都会产生合数。

素数分解法

素数分解是一种将数字显示为其素数乘积的方法。素数是恰好有两个因数的数，1 和数本身。它也被定义为一种找到一个数的质因数的方法，这样原始数就可以被这些因数整除。众所周知，合数有两个以上的因数，因此，这种方法只适用于合数，不适用于素数。 例如，这里 126 的素数是 2、3、7，因为 2 × 3 × 3 × 7 = 126，而 2、3、7 是素数。数字 40 的一个例子是 5 × 8，但 8 不是素数。数字 8 表示为 2 × 2 × 2，因为 5 和 2 是素数。因此，40 的素数分解为 2 × 2 × 2 × 5 = 2 ³ × 5。

一些常用的素数分解方法

除法

计算一个数的质因数的步骤类似于找到一个大数的因数的过程。按照以下步骤使用除法找到一个数的质因数：其中一些步骤是

1. 首先，找到能整除给定数的最小素数。
2. 然后，对商重复相同的操作，即将商除以最小的素数。
3. 重复上述步骤，直到商变为 1。
4. 将所有主要因素相乘。

问题：做 460 的素数分解。

解决方案：

Detailed step-by-step process of prime factorization by taking 460.

Step 1: Divide 460 by the least prime number i.e. 2.

So, 460 ÷ 2 = 230

Step 2: Again Divide 230 with the least prime number (which is again 2).

230 ÷ 2 = 115

Step 3: Divide again with the least prime number which will be 5.

115 ÷ 5 = 23

Step 4: As 23 is a prime number, divide it by itself to get 1.

Now, the prime factors of 460 will be 2² × 5 × 23

因子树法

在这种方法中，找到一个数字的因子，然后将这些数字进一步分解，直到我们达到素数。对于使用因子树方法评估数字的素数分解，以下是以下步骤：

1. 因子树的顶部被认为是树的根。
2. 将对应的一对因子作为树的分支。
3. 分解步骤 2 中找到的复合因子，并将这对因子作为树的下一个分支。
4. 重复步骤 3，得到所有复合因子的主要因子。

问题：使用因子树方法对 70 和 300 进行质数分解是什么？

解决方案：

Number 70 is first factorized into two numbers i.e. 7 and 10. Again, 7 and 10 is factorized to get the prime factors of 7 and 10, such that; 7 is 7, and 10 = 2 × 5

So we can write the prime factors of 70 altogether, then;

70 = 7 × 10  

= 7 × 2 × 5

 So prime factors of 70 are 7 × 2 × 5

The same is the second case for number 300, such as;

300 = 2 × 150 

= 2 × 15 × 10  and further once again

= 2 × 3 × 5 × 2 × 5

= 2² × 3 × 5²  are the prime factors of 300

So in both above cases, a tree structure is formed,

PRIME FACTORS OF 70 AND 300 BY FACTOR TREE METHOD

8640除以多少，商作为一个完整的立方数？

解决方案：

The prime factorization method is seen to be the easiest method of finding the factors, let’s use the prime factorization method to find the least number.

8640 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5

        = 2³ × 2³ × 3³ × 5

here, there is triplet of 2 and 3 but there is no triplet of 5 .. so, we can say here 5 occurs as a prime number only once. According to prime factorization method  here 5 is the smallest number by which 8640 must be divided so that the quotient is a perfect cube. 

类似问题

问题1：求7803除以的最小数，商作为一个完整的立方数？

解决方案：

To find the least number by which 7803 is divided, the quotient as a complete cube number, use the prime factorization division method to find the least number.

Write as 7803 =  3 × 3 × 3 × 17 × 17

                       =  3³ × 17² 

Here you can see 7803 is not a perfect square as u can see in attached image : 

Divide it by 172 = 289 to make the quotient a perfect cube, which  gives us 27 as quotient which is a perfect cube.

So here 289 is the required smallest number.

问题 2： 107811 除以的最小数是多少，商作为一个完整的立方数？

解决方案：

107811 = 3 × 3 × 3 × 3 × 11 × 11 × 11

            = 3³ × 11³ × 3

Hence, see 107811 is not a perfect cube.

Divide it by 3 to make the quotient a perfect cube, which gives 35937 as quotient which is a perfect cube.

So here, 3 is the required smallest number.