如何在序列中找到一个术语？

算术是数学的一部分，包括对数字的研究和对这些数字执行的操作。此类运算是加法、减法、乘法、除法、求幂和求根。该序列是遵循明确模式的对象/数字的集合/枚举集合。与 Set 类似，它可以包含无限（可能）数量的元素（序列的成员称为元素），并且它还允许数字的重复。例如：1、2、3、4、5、6。一个序列中元素的总数称为序列的长度。在上面的示例中，序列的长度为 6。如果存在序列，例如自然数序列 (1,2,3,4,5,6...)，则该序列的长度将变为无限。

算术序列

算术序列也是具有确定模式的序列。如果您在序列中取任何数字，然后将其减去前一个数字，结果始终相同或恒定，则它是一个等差数列。在 AP 中，公差是序列中所有连续或连续数字对的恒定差。它由 d 表示。例如：2,4,6,8。在这个序列中，公差是d = 4-2，等于2。同理，6-4 = 2, 8-6 = 2。所以这个序列的公差是2 [公差= a ₂ – a ₁ ]。

一般来说，存在两种类型的序列，1.增加序列 2.减少序列

• 增加序列：- 如果序列中连续项之间的共同差 (d) 为正，我们可以说该序列是递增的。例如5、10、15、20、25。序列的公差为+5。
• 递减顺序：- 另一方面，如果序列中连续项之间的公差 (d) 为负，则我们可以说序列是递减的。例如，18、14、10、6、2。共同差为-4。

在序列中查找术语

等差数列的第一项记为“a”，然后公差不断相加得到下一项。 AP 的第 n 项是出现在第 n 位的项。在等差数列中，找到第n项的广义公式意味着可以找到任何一项，只需输入该项的值。例如， n=1 将给出₁ ， n=3 将给出₃ ，依此类推。下表给出了一个序列中的术语

a1 = Represents the First term of the sequence a2 = Represents the Second term of the sequence a3 = Represents the Third term of the sequence .. .. an-1 = Represents Second last or (n-1)th term of the sequence an = Represents Last or (n)th term of the sequence an+1 = Represents (n+1)th term of the sequence

为了在序列中找到一个术语，有两种方法可以确定，

• 用于确定序列中的项（例如^{第 r}项）的递归方式/公式

a_r = a_r-1 + d   for r>=2

(for last (n^th) term)  ⇢  a_n = a_n-1 + d for n>=2

这里，a _r是序列中的^{第 r}项。 a _r-1是序列中的第 (r-1)^项，d 是一个共同的差异。

问题：求下一项 5, 8, 11, 14, 17, 20, ?

解决方案：

In this question first, we have to find common difference. common difference = a₂ – a₁ = 8-5 = 3.

Now using formula, a_r = a_r-1 + d , here a_r-1 =20

So, a_r = 20 + 3 = 23.                                                                                        

• 用于确定序列中的项（例如第 r^个项）的显式方式/公式

a_r = a₁ + (r-1)d

(for last (nth) term) ⇢   a_n = a₁ +(n-1)d

这里，a _r是序列中的^{第 r}项。 a ₁是序列中的第一项，d 是公共差异，r 是第 r^个元素的索引。

示例问题

问题 1：在 AP 10, 20, 30, 40, 50, 中找到下一个术语？

解决方案：

Common difference = a₂ – a₁ = 20-10 = 10

Here a₁  = 10 and r or n = 6

Now using formula   a_r = a₁ + (r-1)d = 10 + (6-1)×10 = 60.

问题 2：找到以下序列中的下一项，-7, -1, 5, 11, 17,?

解决方案：

Common difference(d) = a₂ – a₁ = -1-(-7) = -1+7 = 6.

here a₁ = -7 and r or n = 6, here r is the r^th  element’s index, 

Note: n is the last index of the sequence. here index is last so we can say it n as well as r.

Then by using formula , a_r = a₁ + (r-1)d  = -7 + (6-1)×6 = -7 + 30 = 23.

问题 3：找出下列序列 6、11、? 中间的项, 21, 26。

解决方案：

Common difference(d) = a₂ – a₁ = 11-6 = 5 .

Here, a₁ = 6, and r = 3 

Then by using formula , a_r = a₁ + (r-1)d  = 6 + (3-1)×5 = 6 + 10 = 16.

问题 4：找出以下序列中的第一项，?, -5, -1, 3, 7。

解决方案：

Common difference(d) = a₃ – a₂ = -1 – (-5) = -1 +5 = 4

Here , we know the last term in the given a_n = 7. and a₁ is been to be determine. and n = 5 (last term)

Then by using formula , a_n= a₁ + (n-1)×d 

 7 = a₁ + (5-1)*4 

7 = a₁ + 16

a₁ = 7-16 = -9

问题 5：按下列顺序找出下一项。 -1/2，-5/6，-7/6，？

解决方案：

Common difference(d) = a₂ – a₁ = -5/6 – (-1/2) = -1/3

Here, a₁ = -1/2 , r or n = 4 

Then by using formula, a_r = a₁ + (r-1)d = -1/2 + (4-1)*-1/3 = -3/2

问题 6： 找出具有以下两个给定项的数列的公式，a ₅ = 20 和 a ₂₀ = 80。

解决方案：

For a₅ = 20

Using formula, a_n  = a₁+(n-1)*d

so ,for a₅ = a₁ + (5-1)×d 

a₅ = a₁ + 4d   

20 = a₁ +4d ⇢  equation(i)

similarly, for a₂₀ = a₁ + (20-1)×d

a₂₀ = a₁ + 19d   

80 = a₁ + 19d ⇢  equation(ii)

Solve both equation by Elimination method. multiply equation(i) by -1 and add it to equation(ii) to                                   eliminate a₁ ,

-20 = -a₁ – 4d  (when equation(i) is multiply by -1)

80 = a₁ + 19d

On adding both 

60 =15d

d = 4

Putting value of d in equation(i)

20 = a₁ + 4×4 

20 = a₁ + 16

a₁ = 4

so a₁ = 4 and d = 4, the formula we’re looking for is,

a_n = a₁ + (n-1)d

a_n = 4 + (n-1)×4

a_n = 4 + 4n -4

a_n = 4d.