几何分布公式

在伯努利试验中，在获得成功之前连续失败次数的可能性由几何分布表示，它是一种离散概率分布。伯努利试验是一种只能有两种结果之一的测试：成功或失败。换句话说，重复伯努利试验直到获得成功，然后在几何分布中停止。

在各种现实生活环境中，几何分布是常用的。例如，在金融行业，几何分布用于估计在成本效益分析中做出给定决策的经济回报。在这篇文章中，我们将了解几何分布的定义、几个实例和一些相关主题。

几何分布

几何分布是一种离散的概率分布，表示在一系列失败后获得第一次成功的可能性。几何分布中的尝试次数可以无限地进行，直到获得第一次成功。几何分布是基于三个关键假设的概率分布。

• 正在进行的试验是独立的。
• 每个试验可能只有两种结果之一：成功或失败。
• 对于每次试验，由 p 表示的成功概率是相同的。

几何分布公式

P (X = x) = (1-p)^x-1p

P (X ≤ x) = 1-(1-p)^x

概率质量函数(pmf) 和累积分布函数都可以用来表征几何分布 (CDF)。试验成功的机会用 p 表示，而失败的可能性用 q 表示。在这种情况下，q = 1 – p。 X ∼ G ( p ) 表示具有几何概率分布的离散随机变量 X。

几何分布 PMF

离散随机变量 X 与某个值 x 完全相同的可能性由概率质量函数确定。

P(X = x) = (1 – p) ^{x -1} p

其中，0 < p ≤ 1。

几何分布 CDF

随机变量 X 取值小于或等于 x 的概率可以描述为在点 x 处评估的随机变量 X 的累积分布函数。分布函数是它的另一个名称。

P(X ≤ x) = 1 – (1 – p) ^x

几何分布的平均值

几何分布的均值也是几何分布的期望值。随机变量 X 的所有值的加权平均值是 X 的期望值。

E[X] = 1 / p

几何分布的方差

方差是离散度的一种度量，它检查分布中的数据相对于均值分布的程度。

Var[X] = (1 – p) / p ²

几何分布的标准差

方差的平方根可用于计算标准偏差。标准差还表示分布偏离均值的程度。

SD = √VAR[X]

SD = √1-p / p

示例问题

问题 1：如果患者正在等待合适的献血者，并且选择的献血者匹配的概率为 0.2，则找到将被测试的预期献血者数量，直到找到匹配的献血者，包括匹配的献血者。

解决方案：

Given,

p = 0.2

E[X] = 1 / p 

= 1 / 0.2 

= 5

The expected number of donors who will be tested till a match is found is 5 

问题 2：假设您正在玩飞镖游戏。成功的概率是 0.4。你在第三次尝试中击中靶心的概率是多少？

解决方案：

Given,

p = 0.4

P(X = x) = (1 – p)^{x – 1}p

P(X = 3) = (1 – 0.4)^{3 – 1}(0.4)

P(X = 3) = (0.6)²(0.4) 

= 0.144

The probability that you will hit the bullseye on the third try is 0.144

问题 3：一家灯泡制造厂发现每 60 个灯泡中有 3 个有缺陷。测试第 6 个灯泡时发现第一个有缺陷的灯泡的概率是多少？

解决方案：

Given,

p = 3 / 60 = 0.05

P(X = x) = (1 – p)^{x – 1}p

P(X = 6) = (1 – 0.05)^{6 – 1}(0.05)

P(X = 6) = (0.95)⁵(0.05)

P(X = 6) = 0.0386

The probability that the first defective light bulb is found on the 6th trial is 0.0368

问题4：如果p的值为0.42，求几何分布的概率密度； x = 1,2,3 并计算均值和方差。

解决方案：

Given that p = 0.42 and the value of x = 1, 2, 3

The formula of probability density of geometric distribution is

P(x) = p (1-p) ^x-1; x =1, 2, 3

P(x) = 0; otherwise

P(x) = 0.42 (1- 0.42)

P(x) = 0; Otherwise

Mean= 1/p = 1/0.42 = 2.380

Variance = 1-p/ p²

= 1-0.42 /(0.42)²

= 3.287

问题5：如果池中破锅的概率为0.4，求成功前刹车的次数以及对应的方差和标准差。

解决方案：

Here,

X ∼ geo(0.4)

Hence,

e(x) = 1/0.4 = 2.5

Var(x) = 0.6/0.4²

= 3.75

Hence, standard deviation ( σ) = 1.94