如何计算平方根？

任何数值的平方根都是在自乘时得到原始数字的值。 '√'是用来描述任何数的根的部首符号。平方根是指该数字的 1/2 次方。例如，假设 x 是任何整数 y 的平方根，这意味着 x=√y。在乘以 eq 时，我们还得到 x ² = y。

The square root of the square of a positive number gives the original number.

为了理解这个概念，我们知道，4 的平方是 16，而 16 的平方根，√16 = 4。现在，正如我们所见，16 是一个完美的平方数。这使得计算这些数字的平方根变得容易。但是，要计算 3、5、7 等不完美平方的平方根，计算根是一个困难的过程。

平方根函数是一个一对一的函数，它使用一个正数作为输入并返回给定输入数的平方根。

f(x) = √x

平方根的性质：

平方根的一些重要性质如下：

• 对于完美平方数，存在完美平方根。
• 对于以偶数个零结尾的数字，存在平方根。
• 没有定义任何负数的平方根。
• 对于以数字 2、3、7 或 8 结尾的数字，则不存在完美平方根。
• 对于以数字 1、4、5、6 或 9 结尾的数字，该数字将有一个平方根。

如何计算平方根？

完全平方数是本质上为正的整数，可以很容易地以数字本身相乘的形式表示。完全平方数被描述为任何整数的 2 次幂的值。计算完全平方数的平方根相对容易一些。主要有四种方法用于求数字的平方根：

• 平方根的重复减法
• 素数分解法的平方根
• 估计方法的平方根
• 长除法平方根

以上三种方法可用于计算完全平方数的平方根。但是，最后一种方法可用于这两种类型的数字。

平方根的重复减法

该方法依赖于以下步骤序列：

第 1 步：从要求平方根的数字中减去连续的奇数。

第 2 步：重复第 1 步，直到达到 0 值。

第 3 步：重复第 1 步的次数是给定数字的所需平方根。

Note: This method can be used only for perfect squares. 

例如，对于数字 16，该方法的工作原理如下：

16 – 1 = 15

15 – 3 =12

12 – 5 = 7

7- 7 = 0

该过程重复4次。因此，√16 = 4。

素数分解法的平方根

任何数的素数分解是该数以素数乘积的形式表示。该方法依赖于以下步骤序列：

第 1 步：将指定的数除为其质因数。

步骤2：形成一对相似的因子，使得每个形成的对中的两个因子都相等。

第 3 步：从每一对中取一个因子。

第 4 步：通过从每一对中取一个因子来获得因子的乘积。

第 5 步：得到的乘积是给定数字的平方根。

Note: This method can be used only for perfect squares. 

例如，对于数字 64，该方法的工作原理如下：

$\begin{array}{|l} \llap{2~~~~} 64 \\ \hline \llap{2~~~~} 32 \\ \hline \llap{2~~~~} 16 \\ \hline \llap{2~~~~} 8 \\ \hline \llap{2~~~~} 4 \\ \hline \llap{2~~~~} 2 \\ \hline 1 \end{array}$

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2 ² × 2 ² × 2 ²

64 = (2 × 2 × 2) ²

64 = (8) ²

√64 = 8

估计方法的平方根

估计方法用于逼近给定数字的平方根。它将数字的平方根近似为对实际值的合理猜测。这种方法计算更容易。然而，这是一个非常漫长和耗时的过程。

第 1 步：找到给定数字前后出现的最接近的完美正方形。

第 2 步：找到下一个最接近的整数，并每次将它们四舍五入以得出最接近的答案。

例如，对于数字 15，该方法的工作原理如下：

9 和 16 是最接近 15 之前和之后的完美平方数。现在，我们知道，

√16 = 4 和 √9 = 3。这意味着数字 15 的平方根出现在 3 和 4 之间。现在，该过程涉及评估数字 15 的平方根是否更接近 3 或 4。

第一种情况取 3.5 和 4。3.5 的平方 = 12.25，4 的平方根 = 16。因此，整数 15 的平方根介于 3.5 和 4 之间，更接近 4。

此外，我们发现 3.8 和 3.9 的平方，分别相当于 3.8 ² = 14.44 和 3.9 ² = 15.21。这意味着 √15 介于 3.8 和 3.9 之间。在进一步评估中，我们得到 √15 = 3.872。

长除法平方根

用于计算数字平方根的长除法方法涉及将大数划分为步骤或部分，从而将问题分解为一系列更简单的步骤。

例如，对于数字 180，该方法的工作原理如下：

第 1 步：在以单位位置开头的数字的每一对数字上放置一个横条。

第 2 步：然后将最左边的数字除以最大的数字，使得平方小于或等于最左边对中的数字。

第 3 步：现在，余数右侧的下一个小节下的数字被降低。得到的商的最后一位被加到除数上。现在，下一步是在获得的和的右侧找到一个数字，使其与和的结果一起形成新被除数的新除数。

第四步：得到的商中的数等于除数中选择的数。

第 5 步：使用小数点重复相同的过程，并在余数中成对添加零。

第 6 步：商形成数字的平方根。

示例问题

问题 1. 用素因数分解法计算 144 的平方根？

解决方案：

$\begin{array}{|l} \llap{2~~~~} 144 \\ \hline \llap{2~~~~} 72 \\ \hline \llap{2~~~~} 36 \\ \hline \llap{2~~~~} 18 \\ \hline \llap{3~~~~} 9 \\ \hline \llap{3~~~~} 3 \\ \hline 1 \end{array}$

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2² × 2² × 3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12 

问题 2.平方根的化简方法是什么？

解决方案：

The prime factorization of the given number can be computed. In case the factor cannot be grouped, a square root symbol is used to group them. The following rule is used for simplification : 

√xy = √(x × y), where, x and y are positive integers.

For instance, √12 = $\sqrt{2 × 2 × 3}$ = 2√3

In case of fractions, the following rule is used: $\frac{ \sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}$

For example:  $\frac{\sqrt50}{\sqrt10} = \sqrt\frac{50}{10}$ = √5

问题 3. 求解：√(x + 2) = 4

解决方案：

We know,

√(x + 2) = 4

On squaring both the sides, we obtain;

x + 2 = √4

x + 2 = ±4

x = ±4 – 2

Therefore, we have,

x = 2 or x = -6

问题 4. 负数的平方根可以是整数吗？解释。

解决方案：

We know, the negative numbers cannot have a square root. The reason behind this is that if two negative numbers are multiplied together, the result obtained will always be a positive number. Therefore, the square root of a negative number will be in the form of complex number. 

问题 5. 用重复减法的方法计算 25 的平方根？

解决方案：

Going by the above stated steps, we have, 

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Since the process is repeated 5 times, therefore, we have,√25 = 5.

问题 6. 用长除法计算 484 的平方根？

解决方案：

By the long division method, we have,

Now, 

The remainder is 0, therefore, 484 is a perfect square number, such that,

√484 = 22