证明 z̄ = r[cos(-θ) + isin(-θ)] 和 z = r[cosθ + isinθ] 的乘积等于模的平方

复数是实部和虚部的总和，通常表示为 a + ib，其中 i 称为虚部，是 -1 的平方根。让我们详细了解复数的模数和自变量，以解决与它们相关的问题，

复数的模和自变量

当一个复数出现在图表上时，它的实部绘制在 x 轴上，虚部绘制在 y 轴上。假设如果数字由下图中的点 P 表示，三角形 OPA 和 OPB 都是直角的。显然，在直角三角形 POA 中，PO 是斜边； Oa 是底，Pa 是垂线。使用毕达哥拉斯定理，我们有：

OP ² = OA ² + PA ²

OP = $\sqrt{OA^2 + PA^2}$

复数的绝对值被视为其模数。它是实部和虚部平方和的平方根。在上述情况下，OP 是 z = a + ib 形式的复数的模，用 r 表示。

复数的自变量定义为数的图形向实轴倾斜的角度。形式为 z = a + ib 的复数的参数如下：

θ = $tan^{-1}[\frac{b}{a}]$ = π/4。

证明z̄ = r[cos(-θ) + isin(-θ)] 和 z = r[cosθ + isinθ] 的乘积等于模的平方。

解决方案：

Modulus of z = r[cosθ + isinθ] = r.

Square of modulus = r²

Given: z bar = r[cos(−θ) +isin(−θ)] = r[cosθ − isinθ]

Now, r[cosθ − isinθ] × r[cosθ + isinθ] = r²[cos²θ − i²sin²θ]

= r²[cos²θ − (−1)sin²θ]

= r²[cos²θ + sin²θ]

Using cos²θ + sin²θ = 1, we have:

z × z̄ = r²

Hence proved.

类似问题

问题 1：求 1 + i 的模数和自变量。

解决方案：

a = 1, b = 1

Modulus = $\sqrt{a^2+b^2}$

= $\sqrt{1^2+(1)^2}$ 

= √2

Argument = tan-1[1/1]

= tan-1[π/4]

= π/4

问题 2：求 -3 – 3i 的模数和自变量。

解决方案：

a = -3, b = -3

Modulus = $\sqrt{a^2+b^2}$

= $\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}$  

= 3√2

Argument = tan-1[b/a]

= tan-1[3/3]

= π/4

问题 3：求 2i 的模数和自变量。

解决方案：

a = 0, b = 2

Modulus = $\sqrt{a^2+b^2}$  

= $\sqrt{0^2+(2)^2}$  

= √4

= 2

Argument = tan-1[2/0]

= π/2

问题 4：求 -4 的模数和自变量。

解决方案：

a = -4, b = 0

Modulus = $\sqrt{a^2+b^2}$

= $\sqrt{(-4)^2}$ 

= √16

= 4

Argument = tan-1[0/4]

= π

问题 5：求 -1 + 2i 的模数和自变量。

解决方案：

a = -1, b = 2

Modulus = $\sqrt{a^2+b^2}$  

= $\sqrt{(-1)^2+(2)^2}$  

= √5

Argument = tan-1[2/1]

= tan^-12