国际空间研究组织 | ISRO CS 2007 |问题 51

本题目要求编写一个程序，计算从一个水晶块中切割成一定数量的长方体所需要的最小表面积。

输入格式

输入有多组数据，每组数据包括：

• 水晶块的体积 $v$，$0 < v < 100000$。
• 长方体的数量 $n$，$0 < n \leqslant 10000$。

输出格式

输出每组数据的最小表面积，结果保留两位小数。

示例

输入：

1 6
11 12
10 3
0 0

输出：

6.00
13.42
10.00

解题思路

这道题目可以使用贪心策略求解。考虑到要求表面积最小，那么需要尽量让每个长方体的表面积小。对于一个长方体而言，它的体积可以表示成 $v=nxyz$，其中 $x,y,z$ 表示长方体的三个面的长度。因此，要让该长方体表面积最小，则必须让这三个面尽量相等。即：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} v &= nxyz \ &= n \cdot x \cdot \frac{v}{n} \cdot \frac{v}{xn} \ &= \frac{nv^2}{x^2} \ x &= \sqrt{\frac{nv^2}{y^2z^2}} \ \end{aligned} \end{equation} $$

因此，在计算每一个长方体的边长时，需要找到一个最接近 $x=\sqrt{\frac{nv}{y^2z^2}}$ 的整数。为了方便，首先将 $\frac{nv}{y^2z^2}$ 取整，然后考虑判断 $\sqrt{\frac{nv}{y^2z^2}}$ 是否要加一，或者是否要减一。当某个长方体的某个面长为 1 的时候，需要将这个边长向上取整。

代码实现

import math

while True:
    v, n = map(int, input().split())
    if v == n == 0:
        break

    root = int(math.pow(v, 1/3)) + 1
    min_surface_area = float('inf')
    for x in range(1, root):
        if v % x != 0:
            continue
        yz = v // x
        y_root = int(math.sqrt(yz)) + 1
        for y in range(1, y_root):
            if yz % y != 0:
                continue
            z = yz // y
            n_x = x // n
            if n_x == 0:
                n_x = 1
            n_y = y // n
            if n_y == 0:
                n_y = 1
            n_z = z // n
            if n_z == 0:
                n_z = 1
            if n_x * n_y * n_z < n:
                n_x += 1
            if n_x * n_y * n_z >= n:
                surface_area = 2 * (x * y + y * z + z * x)
                if x * yz >= y * z * n_x:
                    surface_area += 2 * y * z * n_x
                elif y * yz >= x * z * n_y:
                    surface_area += 2 * x * z * n_y
                elif z * yz >= x * y * n_z:
                    surface_area += 2 * x * y * n_z
                if min_surface_area > surface_area:
                    min_surface_area = surface_area

    print("{:.2f}".format(min_surface_area))

该代码通过循环读入不定数量的测试用例，对于每个测试用例，计算出可能的长方体的边长，然后通过一个嵌套循环遍历每一个长方体的边长组合方式，找到表面积最小的一个。注意在计算表面积时，需要特别注意长方体某个面长为 1 的情况。这里为了方便，让其边长向上取整。最终结果输出到标准输出中。