图论中的独立集是NP完全的证明

先决条件： NP完成度，独立集。

图G =(V，E)的独立集S是一组顶点，使得S中没有两个顶点彼此相邻。它由不相邻的顶点组成。

问题：给定一个图G(V，E)和一个整数k，问题在于确定该图是否包含大小> = k的独立顶点集。
解释：
问题的一个实例是为问题指定的输入。独立集问题的一个实例是图G(V，E)和一个正整数k，问题是检查G中是否存在大小为k的独立集。在NP和NP困难中都存在的问题，证明问题是NP-Complete的陈述的证明包括两个部分：

1. 问题本身在NP类中。
2. NP类中的所有其他问题都可以用多项式时间简化。
   (B是可简化为C的多项式时间，表示为$B$\leqslant_P$C$ )

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。

但是不可能始终将每个NP问题都简化为另一个NP问题以显示其NP完整性。这就是为什么如果我们想证明问题是NP-Complete，我们只是证明问题在NP中，并且任何NP-Complete问题都可归结为NP，那么我们就完成了，即，如果B是NP-Complete且$B$\leqslant_P$C$对于NP中的C，则C为NP-Complete。

1. 独立集是NP
   如果NP中有任何问题，那么给定“证明”，它是问题的解决方案和问题的实例(在这种情况下，图形G和正整数k)，我们将能够验证(检查给定的解是否正确)在多项式时间内的证书。
   证书是顶点的子集V’，其包括属于独立集合的顶点。我们可以通过检查属于该解决方案的每对顶点是否不相邻(通过简单地验证它们彼此之间没有共享边)来验证该解决方案。可以使用多项式G(V，E)的以下策略在多项式时间内完成，即O(V + E)：

   flag=true
   For every pair {u, v} in the subset V’:
       Check that these two don’t
       have an edge between them
       If there is an edge,
       set flag to false and break
   If flag is true:
       Solution is correct
   Else:
       Solution is incorrect
   

2. 独立集是NP-Hard。
   为了证明独立集问题是NP-Hard，我们将从已知的NP-Hard问题简化为该问题。我们将进行简化，从中可以将派系问题简化为独立集问题。
   由图G(V，E)和整数k组成的集团问题的每个实例都可以转换为独立集问题的所需图G’(V’，E’)和k’。我们将通过以下方式构造图G’：

   V’ = V i.e. all the vertices of graph G are a part of the graph G’
   E’ = complement of the edges E, i.e. the edges not present in the original graph G.

   图G’是G的互补图。计算互补图G’所需的时间需要遍历所有顶点和边缘。其时间复杂度为O(V + E)。
   现在我们将证明，计算独立集的问题确实可以归结为集团的计算。减少可以通过以下两个命题证明：

   • 让我们假设图G包含大小为k的集团。团的存在意味着G中有k个顶点，其中每个顶点通过边与其余顶点相连。这进一步表明，由于这些边缘包含在G中，因此它们不会出现在G’中。结果，这k个顶点在G’中彼此不相邻，因此形成了大小为k的独立集。
   • 我们假设互补图G’具有大小为k’的一组独立顶点。这些顶点均不与任何其他顶点共享边。当我们补充图以获得G时，这k个顶点将共享一条边，因此彼此相邻。因此，图G将具有大小为k的集团。

因此，我们可以说，如果在G’(互补图)中有一个大小为k的团簇，则在图G中有一个独立的大小为k的集合。因此，独立集合问题的任何实例都可以简化为集团问题的实例。因此，独立集合是NP-Hard。

结论：
由于独立集问题既是NP又是NP-Hard，因此它是一个NP-完全问题。