证明图论中的独立集是 NP 完全的

什么是独立集？

在图论中，独立集是指一个无向图中的节点集合，这些节点之间没有任何边相连。

NP 问题和 NP 完全问题

NP 问题（Non-deterministic Polynomial time）是指可以在多项式时间内验证解法的问题。

NP 完全问题（NP-complete problem）是指属于 NP 问题并且任何其它 NP 问题都能在多项式时间内约化到它的问题。

在计算机中，NP 完全问题通常被认为是最困难的问题之一，因为没有找到任何快速解决这些问题的方法。

独立集是 NP 完全的

证明独立集是 NP 完全的，需要通过以下步骤：

1. 证明独立集属于 NP 问题。

   可以在多项式时间内验证一个独立集是否满足定义：所有节点之间没有边相连。因此，独立集是 NP 问题。

2. 证明独立集是 NP 完全问题。

   可以通过约化来证明独立集是 NP 完全问题。具体来说，将一个已知的 NP 完全问题约化到独立集问题，如果能在多项式时间内将这个 NP 完全问题转化为一个独立集问题，那么就可以证明独立集是 NP 完全问题了。

   以图染色问题（Graph Coloring Problem）为例，该问题是已知的 NP 完全问题。图染色问题是指给定一个无向图，使用最少的颜色对图中的节点进行染色，使得相邻节点的颜色不相同。现在需要将图染色问题转化为独立集问题。

   假设对于一个给定的无向图 G，需要将其染成 k 种颜色。对于任意的节点 i，可以将其表示为 {i1, i2, i3, …, ik} 的二进制码，其中 1 表示对应的节点颜色，0 表示不是该颜色。如果将所有的节点编码拼接成一条长字符串，就得到了一个字符串 S。

   然后创建一个新的无向图 G'，将原始图 G 的每个节点 i 对应到新图 G' 的一个点 i'。对于任意相邻的节点 i 和 j，如果它们在原始图 G 中有边相连，则在新图 G' 中添加一条边 ei,j。并且对于任意节点 i，在新图 G' 中也添加一条边 ei,i。

   现在需要找到一个大小为 k 的独立集 T，使得 S 中每个节点所在的位置属于 T 中的一个节点。也就是说，在独立集 T 中，每个节点在原始图 G 中的颜色都不相同。

   因此，只有当独立集 T 的大小为 k 时，才能满足原始图 G 的染色要求。而独立集是 NP 问题，因此可以在多项式时间内验证解法。

   综上所述，独立集可以通过图染色问题在多项式时间内约化而来，因此独立集是 NP 完全问题。

总结

独立集是图论中的一个重要问题，它属于 NP 问题，并且可以通过图染色问题在多项式时间内约化成 NP 完全问题。对于程序员来说，了解这些概念可以帮助理解算法和数据结构的复杂度，有助于提高编写高效代码的能力。