门|门 IT 2007 |第 73 题

题目描述

题目来源于“门|门 IT 2007”年度编程比赛中的第73题。在一个园子里摆放着一些木桩，每个木桩上都有一个小标志。标志内容是一个正整数，表示这个木桩的高度。你可以在任意一组相邻的木桩之间放上板子，板子可以延伸出木桩的高度，但是必须保持水平。请问，在任意一组相邻的木桩之间放上板子，使得板子的总长度最小。例如：

    3  <-木桩高度为3
   / \
  2   3
 / \   \
1   2   1

在这个园子里，最优的方案是在第2个木桩和第5个木桩之间放上板子，板子长度为5。

解题思路

这道题目可以采用贪心算法来求解。我们假设当前放置板子的区间是 $[i,j]$，接下来考虑什么时候需要移动左边界 i 和右边界 j：

1. 当板子长度小于当前处理的木桩高度时，需要将左边界移动到当前处理的木桩位置 j-1。
2. 当 $j+1$ 对应的木桩的高度不小于 $i$ 到 $j$ 之间最高的木桩高度时，需要将右边界移动到 $j+1$ 的位置。

代码如下：

def min_total_length(heights):
    n = len(heights)
    i, j = 0, 1
    ans = heights[0]
    while j < n:
        length = j - i
        if heights[j] <= max(heights[i:j]):
            i = j - 1
            ans += heights[j]
        elif j == n - 1 or heights[j+1] >= max(heights[i:j+1]):
            ans += heights[j] * (j - i)
            i = j
        j += 1
    return ans

总结

本题虽然难度不是很大，但是却考察了对贪心算法的理解和运用能力。对于初学者来说，还是需要多做练习，掌握贪心的思想和方法。