题目介绍：门|门 CS 1997 |第 71 题

本题目需要编写程序，用于求解有向无环图的最长路问题。假设有一个有向无环图G=(V,E)和一个距离函数w:E→R，其中，w(e)表示边e的权值。我们定义从源点s到目标点t的路径为一个途中每个点都从s可达的路径。另外，我们定义该路径的长度为该路径上所有边的权值之和。对于有向无环图G和源点s，我们需要找到从s到每个其他点的最长路径。

算法介绍

这道题目我们可以通过动态规划算法进行求解，具体来说，我们可以定义状态$dp(i)$，表示从源点s到点i的最长路径。那么，我们可以通过状态转移方程来进行求解，即

$$ dp(i) = \max_{(j, i) \in E}{dp(j) + w(j, i)} $$

其中，$(j, i) \in E$表示从点j到点i有一条有向边。这个状态转移方程表示，对于每个点i，我们可以选择从它的上一个点j走到它，所以我们需要遍历所有可能的上一个点j，然后选择其中路径最长的那个。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为$O(|V| + |E|)$，其中，|V|表示图中点的个数，|E|表示图中边的个数。

代码实现

以下是基于Python语言的实现代码：

def topological_sort(graph):
    n = len(graph)
    degree = [0] * n
    for u in range(n):
        for v in graph[u]:
            degree[v] += 1

    q = [i for i in range(n) if degree[i] == 0]
    order = []
    while q:
        u = q.pop()
        order.append(u)
        for v in graph[u]:
            degree[v] -= 1
            if degree[v] == 0:
                q.append(v)

    return order

def longest_path(graph, weights, s):
    n = len(graph)
    dist = [-float('inf')] * n
    dist[s] = 0

    order = topological_sort(graph)
    for u in order:
        for v in graph[u]:
            dist[v] = max(dist[v], dist[u] + weights[(u,v)])

    return dist

if __name__ == '__main__':
    graph = [[1], [2, 3], [4], [4], []]
    weights = {(0, 1): 3, (1, 2): 4, (1, 3): 2, (2, 4): 1, (3, 4): 5}
    s = 0

    print(longest_path(graph, weights, s))

以上代码实现了有向无环图的最长路径问题，首先，我们需要实现一个用于拓扑排序的函数topological_sort，然后，我们就可以利用拓扑排序得到的拓扑序列来进行动态规划的计算，最终得到从源点s到每个点i的最长路径。