证明：为什么两个正数的均方根总是大于它们的几何均值？

简介

本文将证明为什么两个正数的均方根总是大于它们的几何均值。其中包括数学证明和图示说明。

数学证明

设两个正数为 a 和 b，它们的均方根为 A，几何均值为 G。

则有：

A = sqrt((a^2+b^2)/2) G = sqrt(a*b)

现在，我们将证明 A > G。

首先，假设 A <= G，则有：

sqrt((a^2+b^2)/2) <= sqrt(a*b)

平方得：

(a^2 + b^2)/2 <= ab

移项得：

(a^2 - 2ab + b^2) <= 0

化简得：

(a - b)^2 <= 0

由于 a 和 b 是正数，所以 (a - b)^2 必须大于等于 0，因此假设不成立。

因此，A > G。

图示说明

下图展示了当 a 和 b 取不同值时，它们的均方根和几何均值的大小关系。

可以看出，均方根始终大于几何均值。当 a 和 b 相等时，它们的大小关系最为明显。