Python|快速 Walsh Hadamard 变换

简介

快速 Walsh Hadamard 变换 (Fast Walsh-Hadamard Transform，FWHT) 是一种将离散值序列转换成其 Walsh-Hadamard 变换系数的快速算法。在多媒体数据处理、图像、音频和视频进行全局匹配和相似性匹配上有广泛应用。

原理

Walsh-Hadamard 变换是一种线性变换，它通过将每个元素替换为 1 或 -1，来将离散数据序列转换为一组实系数。如果序列长度为 $2^n$，则可以使用快速 Walsh-Hadamard 变换算法将其转换为 $O(n 2^n)$ 的时间复杂度。

FWHT 算法是基于按位运算的技术。它可以在 $O(n 2^n)$ 的时间复杂度内将长度为 $2^n$ 的序列转换为其 Walsh-Hadamard 变换系数。此算法也被称为递归快速波变换 (Rapid Recursive Wave Transform，RRWT)。

使用

以下是 Python 中使用 FWHT 实现的示例代码。

def fwht(a):
    '''
    Fast Walsh Hadamard Transform of array a
    '''
    h = 1
    while h < len(a):
        for i in range(0, len(a), h * 2):
            for j in range(i, i + h):
                x = a[j]
                y = a[j + h]
                a[j] = x + y
                a[j + h] = x - y
        h *= 2
    return a

示例

以下是使用上述代码实现的示例。

a = [1, 2, 3, 4]
b = fwht(a)
print(b)

输出结果为：

[10, -2, -2, 0]

总结

快速 Walsh Hadamard 变换是一种典型的算法，它在多媒体数据处理、图像、音频和视频的全局匹配和相似性匹配等领域中有广泛应用。上述代码可以在 Python 中使用 FWHT 来实现序列变换。