国际空间研究组织 | ISRO CS 2020 | 问题 31

这是ISRO (印度国际空间研究组织) CS 2020题库中的第31个问题。该问题要求我们实现一个函数，接受一个整数参数n，返回从1到n的所有数字的阶乘之和。

题目描述

给定一个整数n，计算从1到n的所有数字的阶乘之和。

例如，当n为4时，答案为1！+ 2！+ 3！+ 4！= 1 + 2 + 6 + 24 = 33。

函数签名如下：

def factorial_sum(n: int) -> int:
    pass

示例

assert factorial_sum(4) == 33
assert factorial_sum(5) == 153
assert factorial_sum(10) == 4037913

题解

我们可以用两层循环来实现这个问题。外部循环遍历从1到n的所有数字，内部循环计算当前数字的阶乘值。最终将所有阶乘值加和返回。

def factorial_sum(n: int) -> int:
    def factorial(x):
        if x == 0 or x == 1:
            return 1
        else:
            return x * factorial(x-1)
    
    result = 0
    for i in range(1, n+1):
        result += factorial(i)
    return result

这个解法的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。在实际的应用场景中，当输入的n比较大时，这种解法会非常耗时，因为Python解释器每次都会递归计算阶乘值。我们可以通过缓存中间结果的方式来优化这个问题，以降低算法的时间复杂度。

def factorial_sum(n: int) -> int:
    cache = {0: 1, 1: 1}
    
    def factorial(x):
        if x in cache:
            return cache[x]
        else:
            result = x * factorial(x-1)
            cache[x] = result
            return result
        
    result = 0
    for i in range(1, n+1):
        result += factorial(i)
    return result

这个解法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。其中，通过使用cache字典来记录阶乘值，可以使得递归计算的过程中重复计算的次数降低很多。因此，这个解法的效率比第一个解法要高得多。

以上是本题的完整解析。