资质 | GATE CS 1998 | 问题23

这是 GATE CS 1998 的第23个问题，涉及到电路和布尔代数的基本知识。以下是问题的描述：

给定一个 4-输入的多路开关电路，有两个输入变量 $x_1$ 和 $x_2$，和两个输出变量 $f_1$ 和 $f_2$，如下所示：

        ___________
  x1 ---|           |
       |   SWITCH  |--------- f1
  x2 ---|___________|
           |
           |
           |__________
        ___________   |
  x1 ---|           |  |
       |   SWITCH  |------ f2
  x2 ---|___________|__|

在变量 $x_1$ 和 $x_2$ 取值的所有可能情况下，给定下表中的输出是否可行：

| $x_1$ | $x_2$ | $f_1$ | $f_2$ | |:------:|:------:|:------:|:------:| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 |

请问这个电路是否是可行的，如果是，请给出一个实现它的布尔表达式。

解答

我们可以用真值表来检查这个电路是否是可行的。根据真值表，我们可以将 $f_1$ 和 $f_2$ 的布尔表达式写出来。对应的布尔表达式分别为：

$$ f_1 = \lnot x_1 \land x_2 \ f_2 = x_1 \land \lnot x_2 $$

因此，这个电路是可行的，并且可以用以下逻辑门来实现：

     ____
x1 --|    |
     | NAND|--f2
     |____|
       |
y1 ----|     ____
       |____|    |
x2 ----------| NAND|--f1
             |____|

总结

这个问题考察了我们对布尔代数和逻辑门的基本知识。我们需要将输入变量的所有可能取值带入电路中，检查输出变量是否符合所给定的真值表中的输出。如果符合，我们需要给出相应的布尔表达式，并使用逻辑门构建电路。