资质 | GATE CS 1998 | 问题14

这是GATE CS 1998年的一道题目，主要考察了一下程序员的数学能力。下面我们来看一下题目的具体内容和解法。

题目描述

有一个数组 $A$，包含 $n$ 个正整数，需要用这些数字中的任意组合构造长度为 $m$ 的新数组 $B$，求使得新数组 $B$ 中出现次数最多的数的次数。

输入格式

• 第一行输入两个数 $n$ 和 $m$，分别表示数组 $A$ 的长度和新数组 $B$ 的长度。
• 第二行输入 $n$ 个正整数，表示数组 $A$ 中的数。
• 第三行输入一个数 $k$，表示需要求出新数组 $B$ 中出现次数最多的数在新数组 $B$ 中出现的次数。

输出格式

输出一个整数，表示新数组 $B$ 中出现次数最多的数在新数组 $B$ 中出现的次数。

解题思路

这是一道比较典型的组合问题，需要用到排列组合知识。

假设选出的数为 $a_1,a_2,\ldots,a_k$，其中每个数对应数组 $A$ 中的下标 $l_1,l_2,\ldots,l_k$，则新数组 $B$ 中出现次数最多的数的次数为： $$ max_count = \left\lfloor \frac{m-k}{l_i} \right\rfloor + 1 $$ 其中 $\lfloor\cdot\rfloor$ 表示向下取整。

为了避免重复，需要对原数组 $A$ 进行排序。

代码实现

def max_count(n: int, m: int, A: List[int], k: int) -> int:
    A.sort()
    cnt = 0
    for i in range(n):
        j = i
        while j < n and A[j] == A[i]:
            j += 1
        if m - (j - i) < k:
            break
        max_count = (m - (j - i)) // A[i] + 1
        cnt = max(cnt, max_count)
    return cnt

总结

在解决这类紧凑排列组合问题时，需要对问题进行分析，找到解决问题的规律和方法，适应不同的情况，采取不同的方案。这样才能在编写程序时不出现逻辑错误，提高自身的编程能力。