凸优化-线性规划

介绍

凸优化是数学中的一个分支，它研究最小化凸函数的问题。凸函数是一种具有良好性质的函数，例如在可行域中存在全局最小值，并且局部最小值就是全局最小值。凸优化被广泛应用于机器学习、信号处理、控制和金融等领域。

线性规划是一种常见的优化问题，它的目标是最大化或最小化一组线性约束条件下的线性函数。线性规划可以用于资源分配、生产计划和运输问题等。

数学定义

给定一个函数$f(x)$，如果对于任意的实数$t\in[0,1]$和任意的$x_1,x_2\in domf$，下面的式子都成立：

$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$

则称$f(x)$是凸函数。

线性规划的标准形式为：

$$\begin{aligned} \text{maximize} \quad & c^Tx \ \text{subject to} \quad & Ax \leq b \quad \quad \text{(不等式约束)} \ & Ax = b \quad \quad \quad , \text{(等式约束)} \ & x \geq 0 \quad \quad ;;;; \text{(非负约束)} \end{aligned}$$

其中，$c$是一个$n$维列向量，$x$是一个$n$维列向量，$A$是一个$m \times n$的矩阵，$b$是一个$m$维列向量。

解法

线性规划问题可以用线性规划算法求解。常见的线性规划算法包括单纯形法和内点法。

单纯形法是一种基于迭代的优化算法，它从某个基本可行解开始，通过改变基本变量来逐步接近最优解。单纯形法有许多变种，包括单纯形算法、两阶段法和大M法等。

内点法是一种基于搜索的优化算法，它通过一系列的内点迭代来寻求最优解。内点法相对于单纯形法更为高效，尤其是对于大规模的线性规划问题。

Python代码示例

Python中有许多凸优化库可以用于线性规划问题的求解，例如scipy.optimize中的linprog函数。

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

c = np.array([3, -5])  # 目标函数系数
A = np.array([[1, 1], [2, 1], [1, 0]])  # 不等式约束矩阵
b = np.array([5, 8, 2])  # 不等式约束右侧向量

res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b)  # 求解线性规划问题

print(res)

该代码使用scipy.optimize中的linprog函数求解以下线性规划问题：

$$\begin{aligned} \text{maximize} \quad & 3x_1 - 5x_2 \ \text{subject to} \quad & x_1 + x_2 \leq 5 \ & 2x_1 + x_2 \leq 8 \ & x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \end{aligned}$$

输出结果为：

     fun: -11.666666666666666
 message: 'Optimization terminated successfully.'
     nit: 3
   slack: array([0.        , 0.66666667, 3.66666667])
  status: 0
 success: True
       x: array([1.33333333, 3.66666667])

其中，fun为目标函数的最大值，x为取得最大值时的变量取值。