您在日常生活中都会遇到许多基于目标的情况吗?假设某个学生必须在15天内完成一个项目，或者销售人员必须在一个月内实现销售目标，而另一个人必须购买预算为₹500卢比的电子产品，然后通过这种情况尝试找出问题所在。每个人分别实现的主要目标。假设学生在这种情况下的目标是什么，是的，她想在该项目中取得最高分，您能告诉我在这种情况下销售人员的目标吗?是的，他的目标是在一个月内实现最大的销售量。您认为这是一个人购买小工具的目标，她会尝试将成本降到最低，她购买的小工具落在预算之内，我们可以看到，每种情况都超出每个目标的目标这种情况是最大化收益或最小化成本，这类问题是大学优化问题。
在数学中，优化问题可能涉及寻找最大利润，最小成本或资源的最少使用吗?在我们的日常生活中，可能存在更多需要使用优化技术解决的示例，这些问题可以很简单如上所述，但可能会因情况而变得复杂，我们已经讨论了三种给定情况的目标，现在我们来看一下将在每种情况下确定限制因素的重要因素。那什么意识?嗯，在每种情况下都缺乏一些资源，例如第一种情况，完成该项目的时间限制是有限的，完成该项目所分配的时间限制为15天，同样在两种情况下，限制因素也是如此该人必须在一个月内出售尽可能多的产品，您对第三种情况有何看法?在这种情况下，该人必须在预定预算内购买小工具的限制因素，这意味着您要花的钱是限制因素在这种情况下，即资源稀缺的限制因素在寻找给定问题的最佳解决方案方面起着约束作用，但是这些优化问题是如何在数学中解决的。它们都是解决问题的不同技术，我们将讨论的主要技术是线性编程。我们将在上面讨论如何使用它来解决优化问题。
什么是线性规划?
线性规划是一种技术，可以帮助我们找到给定问题的最优解，最优解就是该解决方案是给定特定问题的最佳可能结果。简而言之，这是一种方法，该方法找出在给定的有限资源下如何以最佳方式做某事，您需要对资源进行最佳利用，以实现特定目标中的最佳结果。例如最小的成本，最高的利润或最少的时间在那些资源上具有替代用途这种需要搜索受某些约束约束的变量的最佳值的情况是可修改的编程分析。这些情况无法通过微积分或边际分析的常用工具来处理。演算技术只能处理完全相等的约束，而在线性编程问题中不存在此约束。线性规划问题有两个基本部分：
- 第一部分：目标函数描述形成最大收益或最小收益的主要目的。
- 第二部分：这是一个常数集，它是描述相等性或不平等性的条件或约束条件的约束条件，根据约束条件或约束条件可以实现优化。
线性规划问题的类型
基本上，有许多不同的线性规划问题，但是在本文中，我们将处理三个主要的线性规划问题。
- 制造问题：制造问题是指当每种产品需要固定的人力，机器时间和原材料时，为了最大程度地获利而应生产或出售的单位数量的问题。
- 饮食问题：用于计算饮食中要包含的各种成分的含量，以使成本最小化，并取决于食物的可获得性及其价格。
- 运输问题：用于确定运输时间表，以找到将产品从位于不同位置的工厂/工厂运输到不同市场的最便宜的方式。
与线性规划问题有关的术语
为了解决线性编程问题，您需要明确有关用于解决第一个线性编程问题的基本术语的概念，如下所示：
- 决策变量：相互竞争以共享有限资源(例如产品服务等)的变量。它们相互关联并具有线性关系，能够确定最佳最佳解决方案，这称为决策变量。
- 目标函数：问题必须是一个清晰且定义明确的目标，可以定量地描述，例如利润最大化或成本最小化等，所有这些都属于目标函数的范畴。
- 限制：这些是对可用资源的限制，例如有限数量的机器，人工材料等。
- 冗余约束：明显存在一些约束，但并不妨碍所研究问题的过程，称为冗余约束。
- 可行解：这是所有可能解的集合，形式为满足常数的变量。
- 最佳解决方案：在以最佳方式支持问题目标的所有可能解决方案中，这是最佳解决方案。
LPP的样本问题
问题1：一家公司生产和销售两种类型的产品，a和b的每单位生产成本分别为200卢比和150卢比，雅思考试的每单位利润为20卢比，而最大单位的利润为您15根据销售公司的估算，在该月所有生产预算中，A和B到B的最大需求量为已收获单位的最大值，将其定为50000卢比，该公司应该制造多少单位以便在其每月销售中赚取最大利润从a和b?
解决方案：
Let x = number of units of type A
y = Number of units of type B
Maximize Z = 40x + 50y
Subject to the constraints
3x + y ≤ 9
x + 2y ≤ 8
and x, y ≥ 0
Consider the equation,
3x + y = 9
x = 3
y = 0
and x + 2y = 8
x = 8
y = 0
Now, we can determine the maximum value of Z by evaluating the value of Z at the four points (vertices) is shown below
|
Vertices |
Z = 40x + 50y |
|---|---|
|
(0, 0) |
Z = 40 × 0 + 50 × 0 = Rs. 0 |
|
(3, 0) |
Z = 40 × 3 + 50 × 0 = Rs. 120 |
|
(0, 4) |
Z = 40 × 0 + 50 × 4 = Rs. 200 |
|
(2, 3) |
Z = 40 × 2 + 50 × 3 = Rs. 230 |
Maximum profit, Z = Rs. 230
∴ The number of units of type A is 2 and the number of units of type B is 3.
问题2：最大化Z = 3x + 4y
受约束，x + y≤450、2x + y≤600和x，y≤0。
解决方案：
We have from the given
Constraints (1)
X + Y = 450
Putting x = 0, ⇒ 0 + y = 450 ⇒ y = 450
Putting y = 0, ⇒ x + 0 = 450 ⇒ x = 450
From, Constraints (2)
2x + y = 600
Putting x = 0, ⇒ 0 + y = 600 ⇒ y = 600
Putting y = 0, ⇒ 2x + 0 = 600 ⇒ x = 300
Now, we have the points co-ordinate Z = 3x + 4y
|
Vertices |
Z = 3x + 4y |
|---|---|
|
(0, 0) |
Z = 3 × 0 + 4 × 0 = 0 |
|
(300, 0) |
Z = 3 × 300+ 4 × 0 = 900 |
|
(150, 300) |
Z = 3 × 150 + 4 × 300 = 1650 |
|
(0, 450) |
Z = 3 × 0 + 4 × 450 = 1800 |
Therefore, the optimal solution maximum Z = 1800 at co-ordinate x = 0 and y = 450. The graph is given below.
