国际空间研究组织 | ISRO CS 2016 |问题 8

这是一道涉及计算机科学的问题，出现在国际空间研究组织（ISRO）2016年招聘考试中。这道题目需要求出一个数列中满足特定条件的数字数量。以下是该问题的详细说明和解决方案。

问题描述

求由若干5和8组成的数列中，满足第i个位置的数字是第i-1个位置数字+2的倍数的数列数量。

数据范围：1<=T<=100,1<=N<=51.

解决方案

本题采用动态规划（Dynamic Programming）的思想进行求解。具体来说，可以使用一个二维数组$dp[i][j]$表示当前考虑第$i$个数字，前$(i-1)$个数字中有$j$个数满足特定条件的数列数量。初始时，由于只考虑了第一个数字，所以$dp[1][0]=1$、$dp[1][1]=0$。接下来依次考虑从第2个数字到第N个数字的情况，需要分两种情况进行讨论：

1. 当前数字是5：在满足前一个数字是8的情况下，满足条件的数字数量将增加($dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]$)；在不满足前一个数字是8的情况下，继续保持前一个数字满足条件的状态($dp[i][j]+=dp[i-1][j]$)。
2. 当前数字是8：在不满足前一个数字是8的情况下，满足条件的数字数量将增加($dp[i][j]+=dp[i-1][j]$)；在满足前一个数字是8的情况下，继续保持前一个数字满足条件的状态($dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]$)。

最终，$dp[N][j]$表示前$N$个数字中有$j$个数满足特定条件的数列数量。

下面是代码实现：

int dp[52][52];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[1][0] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=i;j++){
        if(j==0){
            if(str[i-1]==5){
                dp[i][0]+=dp[i-1][0];
            }
            else{
                dp[i][0]+=dp[i-1][0];
                dp[i][0]+=dp[i-1][1];
            }
        }
        else{
            if(str[i-1]==5){
                dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];
                dp[i][j]+=dp[i-1][j];
            }
            else{
                dp[i][j]+=dp[i-1][j];
                dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];
            }
        }
    }
}

结论

本题采用动态规划的思想进行求解，使用二维数组表示状态。在每一步根据上一步状态进行转移，最终得到有$j$个数满足特定条件的数列数量。代码在C++中实现，时间复杂度为$O(N^2)$。