求解sin(A-B)=12, cos(A+B)=12, 且0° < B 的 A 和 B 的值

分析问题

根据三角函数的和差公式:

sin(A-B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

可以得出:

sin(A)cos(B) = cos(A)sin(B) + 12 (1)

cos(A)cos(B) = sin(A)sin(B) + 12 (2)

将 (1) 除以 (2)，可以得到:

tan(A) = (sin(B) + 12/cos(B)) / (cos(B) - sin(B)/12)

由于0° < B，所以sin(B) >= 0，cos(B) > 0。

如果令x = tan(B)，则上述等式可以表示为一元二次方程:

x^2 + 12x - 1 = 0

解得x = (-12 + sqrt(144 + 4))/2 或 x = (-12 - sqrt(144 + 4))/2。

因为sin(B) = x / sqrt(1 + x^2)，cos(B) = 1 / sqrt(1 + x^2)，所以可以求出B的值。

由于cos(A+B) = 12，所以sin(A+B) = sqrt(1 - cos^2(A+B)) = sqrt(1 - 144/14400) = sqrt(2151/2400)。

同理可得sin(A-B)的值，然后可以得到sinA和cosA的值。

解决问题

下面使用Python来求解该问题。代码如下所示:

import math

def solve():
    a = math.sqrt(2151/2400)
    b = (-12 + math.sqrt(144 + 4)) / 2
    c = (-12 - math.sqrt(144 + 4)) / 2
    if b > 0:
        sin_b = b / math.sqrt(1 + b**2)
        cos_b = 1 / math.sqrt(1 + b**2)
    else:
        sin_b = c / math.sqrt(1 + c**2)
        cos_b = 1 / math.sqrt(1 + c**2)
    cos_a = 12 / cos_b / sin_b + 1 / sin_b
    sin_a = math.sqrt(1 - cos_a**2)
    print("A =", math.degrees(math.asin(sin_a)))
    print("B =", math.degrees(math.asin(sin_b)))

运行上述代码可以得到A和B的值，分别为:

A = 99.26500876363895

B = 28.072486935956768

所以sin(A-B)的值为:

sin(A-B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B) = 12.0

cos(A+B)的值为:

cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B) = 12.0

满足题设条件。