具有 XOR 值 K 的二叉树中的子树计数

本文将介绍如何在二叉树中有效地计算具有给定 XOR 值 K 的子树数量。我们将描述一个简单的算法，该算法基于树的遍历和前缀异或和。此算法的时间复杂度为 $O(n\log w)$，其中 $n$ 表示二叉树中节点的数量，$w$ 表示二进制数的位数。

问题描述

给定一个二叉树和一个整数 $K$，找到具有 XOR 值 $K$ 的子树数量。

例如：

     5
    / \
   2   7
  / \   \
 1   3   8

如果 $K$ 的值为 2，则有两个具有 XOR 值 2 的子树：[2,1] 和 [5,2,3]。

解决方案

我们通过遍历二叉树来计算具有给定 XOR 值 $K$ 的子树数量。对于每个节点，我们计算从根节点到该节点的路径的异或和，并记录在一个前缀异或和数组中。如果我们能够找到两个前缀异或和，它们之间差异或的结果等于 $K$，那么它们之间的子树就具有 XOR 值 $K$。

例如，在上面的示例中，前缀异或和数组为：

[0, 5, 3, 2, 3, 0, 8]

我们注意到，前缀异或和的第 3 项和第 5 项之间的差异或结果等于 2，这意味着 $[2,1]$ 是一个具有 XOR 值 2 的子树，而前缀异或和的第 1 项和第 5 项之间的差异或结果等于 2，这意味着 $[5,2,3]$ 是一个具有 XOR 值 2 的子树。

我们可以使用哈希表来记录每个前缀异或和的出现次数。由于我们要查找的是两个前缀异或和之间的差异或结果，所以我们将在遍历过程中更改此算法。我们在每个节点处计算当前前缀异或和 $s$，并计算 $s \oplus K$ 的出现次数。我们发现这样可以避免计算重复子树。

我们在递归过程中遍历每个节点，并将其前缀异或和添加到哈希表中。我们使用一个计数器来记录 $s \oplus K$ 的出现次数。最后，我们将计数器的值添加到我们的结果中，并继续遍历其余的子树。

下面是实现该算法的Python代码：

class Node:
    def __init__(self, val, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def countSubtreesWithXor(root: Node, K: int) -> int:
    xor_count = {0: 1}
    count = 0

    # 遍历二叉树并计算子树数量
    def dfs(node, xor_sum):
        nonlocal count
        if node is None: 
            return

        # 计算前缀异或和
        xor_sum ^= node.val

        # 计算s^k的出现次数
        count += xor_count.get(xor_sum ^ K, 0)

        # 将当前前缀异或和的出现次数添加到哈希表中
        xor_count[xor_sum] = xor_count.get(xor_sum, 0) + 1

        # 继续遍历子树
        dfs(node.left, xor_sum)
        dfs(node.right, xor_sum)

        # 将当前前缀异或和的出现次数从哈希表中减去
        xor_count[xor_sum] -= 1

    dfs(root, 0)
    return count

总结

本文介绍了如何计算具有给定 XOR 值 $K$ 的子树数量。我们使用前缀异或和及其出现次数来计算子树数量。此算法的时间复杂度为 $O(n\log w)$，其中 $n$ 表示二叉树中节点的数量，$w$ 表示二进制数的位数。这是一种简单而高效的算法，可用于解决广泛的问题。