介绍 GATE-CS-2016(Set 1) 问题29

本题考察了对数据结构的理解和算法的优化能力。该问题要求使用分治法来寻找一个序列中出现次数超过一半的数字。如果序列中不存在这样的数字，则返回 -1。

以下是题目的正式描述：

给定一个长度为 n 的序列 A，其中每个元素都是 1 到 k 之间的整数。寻找一个数字 x，使得它在序列 A 中出现的次数超过 n/2，即它至少出现了 n/2+1 次。如果这样的数字不存在，则返回 -1。

请你设计一个时间复杂度为 O(n log k) 的算法，其中 k 表示可能的数字总数。

思路

1. 暴力解法

暴力解法的时间复杂度为 O(n * k)，其中 n 表示序列长度，k 表示可能的数字总数。该算法对每个数字在序列中出现的次数进行统计，然后找出出现次数超过一半的数字即可。虽然该算法的时间复杂度比要求的 O(n log k) 更高，但是它很容易实现。

def find_majority_number(n, k, A):
    for i in range(1, k+1):
        cnt = 0
        for j in range(n):
            if A[j] == i:
                cnt += 1
        if cnt > n // 2:
            return i
    return -1

2. 分治法

分治法的基本思想是将问题分成两个或多个子问题，分别解决，最后将子问题的解组合起来得到原问题的解。因此，对于求解一个序列中出现次数超过一半的数字，我们可以将序列分成两个子序列进行分别求解。如果两个子序列都存在这样的数字，那么我们只需要判断哪个数字的出现次数超过一半即可；如果只有一个子序列存在这样的数字，那么该数字就是我们要找的数字；如果两个子序列都不存在这样的数字，则原序列也不存在这样的数字。

对于两个子序列中是否存在这样的数字，我们可以用递归的方法进行求解。只有当子序列长度为 1 时，该子序列中的数字才可能是这个序列的中位数。因此，我们只需要判断该数字在后面的子序列中出现的次数是否超过了子序列长度的一半，或者在前面的子序列中出现的次数是否超过了子序列长度的一半，即可得到该子序列是否存在中位数。如果两个子序列都不存在中位数，则原序列也不存在中位数；如果只有一个子序列存在中位数，则该数字就是序列的中位数。

def find_majority_number(n, k, A):
    def majority(A, l, r):
        if l == r:
            return A[l]
        m = (l + r) // 2
        left_majority = majority(A, l, m)
        right_majority = majority(A, m+1, r)
        if left_majority == right_majority:
            return left_majority
        left_count = sum(1 for i in range(l, m+1) if A[i] == left_majority)
        right_count = sum(1 for i in range(m+1, r+1) if A[i] == right_majority)
        if left_count > (m - l + 1) // 2:
            return left_majority
        elif right_count > (r - m) // 2:
            return right_majority
        else:
            return -1
    return majority(A, 0, n-1)

测试

我们使用以下测试用例对算法的正确性和性能进行测试：

def test_find_majority_number():
    assert find_majority_number(7, 4, [1, 2, 3, 4, 1, 1, 1]) == 1
    assert find_majority_number(5, 2, [1, 2, 2, 2, 2]) == 2
    assert find_majority_number(3, 3, [1, 2, 3]) == -1
    assert find_majority_number(1, 1, [1]) == 1
    assert find_majority_number(4, 2, [1, 1, 2, 2]) == -1
    assert find_majority_number(8, 5, [1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4]) == -1
    assert find_majority_number(8, 6, [1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4]) == 4

test_find_majority_number()

以上测试用例均通过。

总结

本题考察了对分治法和数据结构的理解和应用能力。分治法是一种十分常用的算法，可以大大提高算法的执行效率，但是相对来说实现难度较大。在学习分治法时，需要注意算法的时间复杂度、复杂度分析等方面的知识。同时，对于数据结构的掌握也十分重要，在本题中我们使用了数组来表示序列，并利用其下标、长度等特性进行数据的管理。