GATE CS Mock 2018年 - 套装2 - 问题18

这是一道GATE CS Mock 2018年中的问题，题目编号为18。该题主要考察了程序员对于数据结构和算法的掌握。

问题描述

下面是题目的具体描述：

给定一个有向图，该图中的每个节点都包含一个数字。现在，我们需要找到从源节点到目标节点的最长路径，并返回这条路径上所有节点中的最大数字。

解题思路

该问题可以直接使用Dijkstra算法解决。Dijkstra算法是一种贪心算法，用于求解带有非负权值的有向图中最短路径问题。

在这里，我们可以将每个节点看作一个状态，并将节点之间的连线看作一条边。然后，我们可以定义一个数组dist[]，用于记录从源节点到每个节点的最短路径值。初始化时，我们可以将源节点的dist值设为0，其他节点的dist值则设为无穷大。

然后，我们可以使用一个优先队列（最小堆）来存储当前节点的dist值，基于dist值最小的节点能够提供最短路径，所以该方法是正确的。

最后，我们可以从源节点开始遍历该图，使用Dijkstra算法来计算每个节点的dist值。在计算完毕后，我们可以找到从源节点到目标节点的最长路径，并返回这条路径上所有节点中的最大数字。

算法的大致步骤如下：

1. 初始化dist[]数组，将源节点的dist值设为0，其他节点的dist值设为无穷大
2. 使用优先队列（最小堆）来存储当前节点的dist值
3. 基于dist值最小的节点开始遍历该图
4. 对于节点的每个邻居，如果其dist值可以通过该节点得到，则更新其dist值
5. 如果目标节点的dist值为无穷大，则说明无法到达目标节点
6. 否则，遍历所有可能的路径，并返回这条路径上所有节点中的最大数字

代码实现

下面是Dijkstra算法的伪代码：

initialize dist[] to infinity
dist[source_node] = 0
add source_node to the priority queue

while the priority queue is not empty:
    current_node = get the node with the smallest dist value from the priority queue
    for each neighbor of current_node:
        distance = dist[current_node] + weight(current_node, neighbor)
        if distance < dist[neighbor]:
            update dist[neighbor] to distance
            add neighbor to the priority queue with priority dist[neighbor]
            
if dist[target_node] == infinity:
    return "No path from source to target"
else:
    max_value = 0
    path = []
    node = target_node
    while node != source_node:
        max_value = max(max_value, node.value)
        path.append(node)
        node = node.previous_node
    path.append(source_node)
    path.reverse()
    return max_value, path

其中，initialize dist[] to infinity表示初始化dist[]数组，将所有节点的dist值初始化为无穷大。dist[source_node] = 0表示将源节点的dist值设为0。add source_node to the priority queue表示将源节点添加到优先队列中。

在while循环中，current_node = get the node with the smallest dist value from the priority queue表示从优先队列中获取dist值最小的节点。for each neighbor of current_node:表示遍历当前节点的所有邻居。distance = dist[current_node] + weight(current_node, neighbor)表示计算当前节点到邻居节点的距离。如果distance < dist[neighbor]，则表示可以通过当前节点得到更短的dist值，需要更新dist值，并将邻居节点添加到优先队列中。

在while循环结束后，如果dist[target_node] == infinity，则表示无法到达目标节点。否则，需要遍历所有可能的路径，并返回这条路径上所有节点中的最大数字。

参考资料

1. Dijkstra算法 - 维基百科
2. Python数据结构算法之旅（二十）：Dijkstra算法