门| GATE CS 2018 |问题 18

以下哪一项是序列 {a _n } 的生成函数的闭式表达式，其中 a _n = 2n + 3 对于所有 n = 0, 1, 2,…?

(一) A
(乙)乙
(C)丙
(四)丁答案： (D)
解释：给定一个_n = 2n + 3

序列 a _{n 的}生成函数G(x) 是
G(x) = $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

= $\sum_{n=0}^{\infty} 2n(x^n) + 3(x^n)$

= $2 \sum_{n=0}^{\infty} n(x^n) + 3 \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

= 2(0+x+2x ² +3x ³ +…..) + 3(1+x+x ² +….)

我们知道$\frac{1}{1-x}$ = 1+x+x ² +…。

x+2x ² +3x ³ +… = x(1+2x+3x ² +….) = $\frac{x}{(1-x)^2}$

代入 G(x) 中的计算值

G(x) = $2(\frac{x}{(1-x)^2}) + 3(\frac{1}{1-x})$

= $\frac{2x+3-3x}{(1-x)^2}$

= $\frac{3-x}{(1-x)^2}$
这个问题的测验