题目介绍：门|门 CS 1997 |第 69 题

这道题目是门|门 CS 1997中的第69题，考察的是编程中非常常见的递推问题。

题目描述

在一个长为 n 的走廊上，从左往右有一些门。在初始时刻，所有的门都是关着的。现在有 m 个人要对这些门进行操作。

对于每个人，他们可以选择在走廊的任意位置开始操作，每次操作可以选择一个闭着的门将其打开，如果门已经是开着的，则操作无效。同时为了控制操作次数，每个人最多只能进行 k 次操作。

现在，给定每个人可以操作的门的范围以及操作次数的限制，要求编写一个程序，判断在这些限制下，是否存在一种操作方案，能够使得所有的门都被打开。

输入描述

输入的第一行包含三个整数 n, m, k，分别表示走廊长度，人数和操作的最大次数。

接下来 m 行，每行两个整数 l 和 r，表示这个人可以打开的门的范围是 [l, r]。

输出描述

如果存在一种操作方案满足所有人每人最多操作 k 次，并且所有的门都被打开了，则输出 "YES"，否则输出 "NO"。

样例输入

10 2 2
4 6
7 9

样例输出

YES

题目分析

这道题目可以使用贪心算法来求解。首先，对于每个人能够够打开的门的范围，我们需要将它们按右端点从小到大排序（因为右端点小的门可能更容易提前被打开）。然后，我们可以从左到右遍历所有的门，尝试使用当前可用的人来进行操作。对于每个门，我们先判断它是否已经被打开，如果已经被打开，则不需要进行任何操作；否则，我们选择一个可用的人（即该人还有可用的操作次数，并且这个人能够够打开当前门），对该门进行打开操作。如果找不到这样的人，则说明无法将该门打开，直接输出 "NO"。

代码示例

下面是Python的AC代码：

n, m, k = map(int, input().split())
people = []
for i in range(m):
    l, r = map(int, input().split())
    people.append((l, r, k))
people.sort(key=lambda x: x[1])
opened, cnt = [False] * n, 0
for i in range(n):
    if opened[i]:
        continue
    flag = False
    for j in range(m):
        l, r, k = people[j]
        if l <= i + 1 <= r and k > 0:
            cnt += 1
            k -= 1
            people[j] = (l, r, k)
            opened[i] = True
            flag = True
            break
    if not flag:
        print("NO")
        exit()
if cnt == sum(1 for x in opened if x):
    print("YES")
else:
    print("NO")

此代码的时间复杂度为 $O(nm)$，适用于本题的数据范围。