资质 | GATE CS 1998 | 问题16

这是一道 GATE CS 1998 题库中的问题，涉及二叉树的操作，递归和非递归解法都需要掌握。这是一道典型的算法和数据结构的面试题目，下面给出具体的题目描述和解法介绍。

题目描述

给定一棵二叉树和一个整数 $k$，要求找出二叉树中节点值之和等于 $k$ 的所有路径。路径的定义：从树的根节点开始，依次沿着树的分支走下去，直到叶子节点为止。路径是指从根节点到叶子节点的一条路径。

例如，下图所示的二叉树中，如果 $k=22$，则应返回两条路径：$5\to 4\to 11\to 2$ 和 $5\to 8\to 9$。

            5
           / \
          4   8
         /   / \
        11  13  4
       /  \      \
      7    2      1

解法介绍

解法一：递归

二叉树的每条路径都可以看作是从根节点出发的一条链。因此，我们可以先从根节点开始，依次访问每个节点，并记录下当前节点的路径，直到找到一条节点值之和等于 $k$ 的路径。

具体实现时，我们可以使用回溯算法。从根节点开始，对于每个非叶子节点，遍历它的左右子树，每一次递归时，将当前节点的值添加到路径中，然后计算与目标值 $k$ 的差值，若差值为 $0$，说明找到一条路径；否则继续遍历它的左右子树，并将当前节点从路径中删除。

下面是一个简单的Python代码示例：

def find_path(root, k, path=[]):
    if not root:
        return []
    path.append(root.val)
    if sum(path) == k and not root.left and not root.right:
        return [path]
    left = find_path(root.left, k, path[:])
    right = find_path(root.right, k, path[:])
    return left + right

该算法解决了问题，但它的时空复杂度较高，遍历了所有的节点，时间复杂度为 $O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O(n)$，其中 n 为节点数。

解法二：非递归

对于递归解法的瓶颈在于需要遍历所有的节点。但是如果我们能够剪枝，只在有可能找到目标值时遍历，那么就可以大大减少遍历的次数。因此，我们可以考虑使用一种非递归的解法——迭代。

具体来说，我们可以将非递归的中序遍历算法稍微修改一下，在遍历每个节点的过程中，记录下路径以及到目前为止的节点值之和，如果发现节点值之和大于目标值，则跳过该节点和其右子树，否则继续遍历。

下面是一个Python代码示例：

def find_path(root, k):
    if not root:
        return []
    stack, res = [(root, [root.val], root.val)], []
    while stack:
        node, path, val = stack.pop()
        if not node.left and not node.right and val == k:
            res.append(path)
        if node.right:
            stack.append((node.right, path+[node.right.val], val+node.right.val))
        if node.left:
            stack.append((node.left, path+[node.left.val], val+node.left.val))
    return res

可以看出，该算法只访问了可能包含路径的节点，因此，较递归解法来说具有更优秀的时空复杂度。时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。