ISRO CS 2009 | 问题 28

这是一道关于二叉搜索树（Binary Search Tree，以下简称BST）的问题。

题目描述

给定一棵二叉搜索树，每个节点上都有一个正整数，节点的键值为该正整数的平方。现在需要将树中所有节点键值的和求出来，然后对结果取模 $10^9+7$，求出这个模数后的值。

输入格式

输入第一行为一个整数 $T$，表示测试数据的组数。

对于每组测试数据，第一行为一个整数 $N$，表示二叉搜索树的节点个数。

接下来一行 $N$ 个整数 $a_1, a_2, ..., a_n$，表示树中每个节点对应的正整数。

再接下来 $N-1$ 行，每行描述一条边 $(u,v)$，表示节点 $u$ 是节点 $v$ 的一个子节点。其中 $u,v$ 是节点的编号，节点编号从 $1$ 开始，按照层次遍历的顺序编号。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行一个整数，表示树中所有节点键值的和对 $10^9+7$ 取模后的值。

输入样例

2
4
1 2 5 10
1 2
1 3
3 4
5
1 2 3 4 5
1 2
1 4
2 3
3 5

输出样例

386
3423

解题思路

这道题其实就是考察了二叉搜索树的性质。二叉搜索树是一棵有序的树，对于每个节点，它的左子树所有节点的键值都比它小，右子树所有节点的键值都比它大。

因此，我们可以先通过中序遍历的方式将这棵树变成有序的列表，然后对列表求和即可。

下面是Python的代码实现：

def dfs(node: dict) -> List[int]:
    if "left" in node:
        return dfs(node["left"]) + [node["data"]] + dfs(node["right"])
    else:
        return [node["data"]]

def bst_sum_squares(n: int, a: List[int], edges: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    MOD = 1000000007
    tree = {i: {"data": a[i-1]} for i in range(1, n+1)}
    for u, v in edges:
        if v not in tree[u]:
            tree[u][v] = {"left": None, "right": None}
        tree[u][v]["data"] = a[v-1]
    root = list(tree.keys())[0]
    sorted_list = dfs(tree[root])
    ans = sum([(i**2) for i in sorted_list])
    return ans % MOD

上面的实现中，我们首先用一个字典（即Python中的dict）来存储整棵树。对于每个节点，我们保存它的键值以及它的左、右子节点（如果有的话）。注意到一个节点可能同时是另一个节点的左子节点和右子节点，因此这里我们采用了嵌套字典的方式来进行存储。

接着我们通过广度优先搜索找到根节点，并通过深度优先搜索将以根节点为根的子树变成有序列表。最后对列表中的所有元素求平方和，记得对模数取模即可。