数学 | 矩阵介绍

本篇介绍矩阵的基础概念、性质和应用。矩阵是数学中的一种重要工具，在程序设计中也被广泛应用。

基本概念

矩阵是由数个数按一定规律排成的矩形阵列，通常记作 $A=[a_{ij}]{m,n}$，其中 $a{ij}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素，$m$ 和 $n$ 分别表示矩阵 $A$ 的行数和列数。若 $m=n$，则称矩阵 $A$ 为方阵。矩阵可以进行加减乘除等运算，是线性代数的基础。

基本性质

矩阵有以下几个基本性质：

• 矩阵的加法和乘法都满足交换律和结合律。
• 矩阵的乘法满足分配律，即 $A(B+C)=AB+AC$ 和 $(B+C)A=BA+CA$。
• 矩阵的乘法一般不满足交换律，即 $AB$ 一般不等于 $BA$。

矩阵运算

矩阵的运算包括加法、减法和乘法，其中加法和减法的定义很简单：

$$ A+B=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix} $$

$$ A-B=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \cdots & a_{1n}-b_{1n} \ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \cdots & a_{2n}-b_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \cdots & a_{mn}-b_{mn} \end{bmatrix} $$

而矩阵的乘法需要一定的技巧。设 $A=[a_{ij}]{m,n}$，$B=[b{ij}]{n,p}$，则 $AB=[c{ij}]_{m,p}$，其中

$$ c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} $$

其中 $\sum$ 表示对 $k$ 从 1 到 $n$ 进行求和。换句话说，$c_{ij}$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 行和矩阵 $B$ 的第 $j$ 列的元素的乘积之和。

矩阵应用

矩阵在计算机图形学中有着广泛的应用，例如矩阵可以表示平移、旋转、缩放等变换，可以用来实现弹出菜单、拉出抽屉、幻灯片切换等界面效果。同时，矩阵还可以用于解决线性方程组、最小二乘法等数学问题。因此，熟练掌握矩阵的概念、运算和应用对程序员来说是至关重要的。