📅 最后修改于: 2023-12-03 15:39:57.670000 🧑 作者: Mango
矩阵(matrix)是线性代数中的一个重要概念，也是计算机科学领域中经常用到的数学工具。
矩阵是由$m$行$n$列的数所排成的矩形阵列，通常用黑体字母大写表示，如$A,B,C,\ldots$。
矩阵的一般形式为：
$$ A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
其中，$a_{ij}$表示矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素。
若矩阵$A$和矩阵$B$的行数和列数相等，则它们可以相加，即：
$$ A+B=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix} $$
若$k$为数，矩阵$A$的每一个元素都乘上$k$，即：
$$ kA=\begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n}\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix} $$
设矩阵$A$的大小为$m\times n$，矩阵$B$的大小为$n\times p$，则它们的乘积$AB$的大小为$m\times p$，矩阵的乘法定义为：
$$
\begin{aligned}
AB&=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p}\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p}\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np}
\end{bmatrix}\
&=\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1p}\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2p}\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\
c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mp}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
其中，$c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$。
若矩阵$A$的大小为$m\times n$，则它的转置$A^T$的大小为$n\times m$，矩阵的转置定义为：
$$ A^T=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
若矩阵$A$可逆，则存在矩阵$B$，使得$AB=BA=E$，其中$E$表示单位矩阵，$A$称为可逆矩阵，$B$称为$A$的逆矩阵，记为$A^{-1}$。逆矩阵可以通过高斯-约旦消元法或矩阵的伴随矩阵求得。
矩阵的秩表示矩阵中线性无关的行数或列数，用$r(A)$表示。
矩阵广泛应用于计算机科学中的图像处理、神经网络、数据挖掘等算法中。
在图像处理中，矩阵可以表示图像的像素值，通过矩阵相关的操作，如转置、缩放、旋转等，可以对图像进行处理，得到各种效果。
在神经网络中，矩阵可以表示神经网络的参数和输入输出，通过矩阵相关的运算，如矩阵乘法、逆矩阵计算等，可以进行神经网络的训练和预测。
在数据挖掘中，矩阵可以表示数据集，通过矩阵相关的算法，如奇异值分解、主成分分析等，可以进行数据降维、特征提取等操作，将高维数据映射到低维空间中，为数据挖掘提供更好的效果。
以上仅是矩阵在计算机科学中的应用之一小部分，矩阵还有很多其他的应用，如网络分析、控制系统等。
矩阵作为一种基础的数学工具，在计算机科学中有着广泛的应用。掌握矩阵的基本概念和运算方式，对于从事相关领域的人员来说是非常重要的。