查询以找到 X 与给定级别的理想二叉树的节点之间的最大 Xor 值

简介

本文旨在介绍如何查询从根节点到指定节点之间的所有路径中，与给定数值 X 的异或和最大的路径上的异或和，以及如何实现一个基于 trie 树和前缀和的算法来解决这个问题。本文设定使用 C++ 语言实现。

问题描述

给定一个深度为 D 的理想二叉树，其中根节点深度为 0，左右子树深度分别为 D-1，假定所有节点都标记有唯一的整数 ID，根据节点的 ID 编号，构建一个长度为 2^D 的 01 序列。对这个序列进行前缀和处理，得到长度为 2^(D+1)-1 的前缀和序列 S。

现在给定一个整数 X 和一个深度为 d 的节点，求从根节点到指定节点之间的所有路径中，与数值 X 的异或和最大的路径上的异或和。

解法

题目分析

先来考虑如何求出从根节点到指定节点的路径的异或和。如果从根节点到指定节点有一条路径，路径上的节点的 ID 编号对应的 01 序列为 b1b2...bn，则所求的异或和为

xor(S[b1...b1]...S[b1...bn])

其中，xor(x1,...,xn) 表示 x1⨁...⨁xn，即多个数的异或和。 由于 1^1==0，0^1==1，可以把 ID 编号转化为 01 序列。又因为 S 中存储的是前缀和，因此可以直接使用 S[b1...bn] 表示从根节点到指定节点这条路径的异或和。

接下来的问题是如何求出所有路径中的异或和的最大值。

算法实现

将 ID 编号看成以 D 位二进制数的形式分解，第 i 位表示该节点在以 2^i 为根的子树中的位置（0 表示在左子树，1 表示在右子树）。因此，可以按照这个规律构建一颗 trie 树，使得 trie 树上的每一个节点表示了二叉树上以该节点为结尾的一个路径。

从根节点开始，依次遍历该 trie 树，找到 trie 树上所有和 X 的二进制表示异或结果相同的节点，取所有这些节点在 S 中的前缀和的最大值，即为所求的结果。

由于这个 trie 树最多包含 2^(D+1) 个节点，因此可以使用数组进行存储。具体实现中，可以将根节点的位置设为 1，左右孩子节点的编号分别为 2k 和 2k+1，其中 k 表示该节点在 trie 树上的编号。

对于某个节点的编号 i，将其在 trie 树上的深度记为 d，该节点表示了一条从根节点到该节点的路径。首先将该节点的前缀和与之前的所有异或和比较，如果当前前缀和异或 X 的结果比之前的所有结果都小，则不需要对以该节点为根的子树进行递归搜索。如果当前前缀和异或 X 的结果比之前的所有结果都大，则向该节点对应的左右子树继续递归搜索。

具体实现时，可以使用递归或非递归的方式来遍历 trie 树。每遍历到一个节点时，可以根据 X 的二进制表示的当前位置来判断应该遍历该节点的左子树还是右子树。

以下为 C++ 代码实现，其中 T 表示 trie 树的数组，S 表示前缀和序列。在代码中使用了前缀和和异或运算的性质简化了计算过程。

int trie_search(int X, int d, int i, int S[]) {
    if (d<0 || X>>d&1? i*2+1>=1<<(d+1): i*2>=1<<(d+1)) return S[i]^X;
    int res=X>>d&1? trie_search(X, d-1, i*2, S): trie_search(X, d-1, i*2+1, S);
    if (i*2<1<<(d+1)) res=max(res, trie_search(X, d-1, i*2+1, S));
    if (i*2+1<1<<(d+1)) res=max(res, trie_search(X, d-1, i*2, S));
    return res;
}

int max_xor_path(int X, int d, int S[], int T[]) {
    return trie_search(X, d-1, 1, S);
}

示例

以下为示例代码，其中输入的第一行为 D 和 X，第二行是长度为 2^D 的数组 S，第三行表示要查询的节点的 ID 编号。

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN=1<<21;
int T[MAXN], S[MAXN];

int trie_search(int X, int d, int i, int S[]) {
    if (d<0 || X>>d&1? i*2+1>=1<<(d+1): i*2>=1<<(d+1)) return S[i]^X;
    int res=X>>d&1? trie_search(X, d-1, i*2, S): trie_search(X, d-1, i*2+1, S);
    if (i*2<1<<(d+1)) res=max(res, trie_search(X, d-1, i*2+1, S));
    if (i*2+1<1<<(d+1)) res=max(res, trie_search(X, d-1, i*2, S));
    return res;
}

int max_xor_path(int X, int d, int S[], int T[]) {
    return trie_search(X, d-1, 1, S);
}

int main() {
    int D, X;
    cin>>D>>X;
    for (int i=1; i<1<<D+1; ++i) cin>>S[i];
    cout<<max_xor_path(X, D, S, T)<<endl;
    return 0;
}