题目简介

本题是 GATE-CS-2016 套装2 中的第 51 题，考察了程序员对动态规划的理解及应用能力，需要以编程方式对给定的问题进行求解。

问题描述

已知一个序列 $A={a_1, a_2, ..., a_n}$，所有的元素都是正整数。现在，你需要将这个序列划分成若干个非空的子序列，且每个子序列满足以下条件：

• 子序列的元素构成是递增的。

• 子序列之间的元素互相独立，即对于两个子序列 $S_1$ 和 $S_2$，如果 $S_1$ 的最后一个元素下标是 $i$，$S_2$ 的第一个元素下标是 $j$，则要求 $i<j$。

现在，你需要找到一种划分方式使得划分出来的子序列数目最小，并输出最小数目。如果无法划分成上述要求的子序列，则需要输出 $-1$。

程序设计

接口说明

本程序需要实现一个函数 min_partition(nums: List[int]) -> int，该函数传入一个整数数组 nums，返回一个整数，表示最小的满足上述条件的子序列数目。如果无法划分，则返回 -1。

状态转移方程

考虑动态规划，设 $dp[i]$ 表示以 $a_i$ 为结尾的满足条件的最少划分。

那么对于每个 $dp[i]$，我们需要枚举它回溯到哪个位置 $j$，使得以 $a_i$ 结尾的子序列可以并入 $dp[j]$ 中，最终取所有 $dp[i]$ 取最小值即可。

状态转移方程为：

$$dp[i] = \min(dp[j])+1,\ s.t.\ a_j<a_i\ &\ j<i$$

具体实现时可以使用两层循环，进行状态转移和向量更新。

输出格式

本程序需要将最小的满足条件的子序列数目以整数形式输出。

如果无法划分，则输出 -1。

代码实现

from typing import List

def min_partition(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [float('inf')]*(n+1)
    dp[0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i-1]:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j]+1)
    if dp[-1] == float('inf'):
        return -1
    else:
        return dp[-1]

总结

本题考察了程序员对动态规划的理解及应用能力，需要沉着冷静地思考状态转移方程，认真地调试和测试程序，并且注意输出的格式要符合题目要求。若一开始对状态转移方程比较模糊，可以考虑画出状态转移图，有助于对问题进行理解和找到状态之间的联系。