题目介绍

本题来自于 GATE-CS-2015 套装3 的第 51 题。该题目是一道算法题，涉及到图论中的最小生成树问题。现将题目情况简述如下：

有一个无向连通图 G，其中每个边都有一个可重复到最大值的权重。设最小生成树为 T，现在要求在 T 中找到边权重的中位数 m，如果有多个中位数，那么返回第一个中位数。请编写一个函数，完成上述要求，并分析其时间复杂度。

算法思路

该题的核心难点是如何在最小生成树 T 中寻找中位数 m。对于有序数组，我们可以直接找到中位数，但是对于无序的树结构，我们需要采用一些特殊的算法来实现。

一种常用的做法是确定最大边权和最小边权（分别记作 MAX 和 MIN），然后根据 MAX 和 MIN 计算出 m 的值。具体过程如下所述：

1. 首先，我们遍历整个生成树 T，找到权重最大的边 W1 和权重最小的边 W2。这里最好不要用搜索，和最初的 Kruskal 算法类似，我们采用 parent 数组来记录每个节点的父节点，然后对于每条边，都将两个端点提取出来，然后在 parent 数组中利用并查集查找其祖先节点，判断这两个端点是否连通。如果不连通，将两个节点合并，然后将边的权重加入生成树的总权重中。

2. 然后，我们可以根据 W1 和 W2 计算出 Wm。如果生成树的节点总数为奇数，那么 m 的值就是 Wm；否则，我们需要找到第 k 大的边，其中 k 是节点数的一半。我们可以使用快速选择算法来找到第 k 大的边，时间复杂度为 O(N)，其中 N 是节点数。

时间复杂度分析

对于 Kruskal 算法，时间复杂度为 O(E log E)，其中 E 是边数。由于无向图的边数最多为 N^2，因此时间复杂度可以写为 O(N^2 log N^2)。在本题中，由于我们需要计算中位数，因此需要将生成树中的所有边按权重排序，时间复杂度为 O(E log E)。因此，总时间复杂度可以写为 O(N^2 log N^2 + E log E)。

另外，由于我们需要使用并查集来判断节点之间是否连通，因此在最坏情况下，时间复杂度可以达到 O(N^2 log N^2)。

代码实现

def find_median(G):
    n = len(G)
    parent = [i for i in range(n)]
    weight_sum = 0
    edges = []

    def find(x):
        if parent[x] != x:
            parent[x] = find(parent[x])
        return parent[x]

    def union(x, y):
        px, py = find(x), find(y)
        parent[py] = px

    for u in range(n):
        for v, w in G[u]:
            edges.append((w, u, v))
    edges.sort()
    for w, u, v in edges:
        if find(u) != find(v):
            union(u, v)
            weight_sum += w
            if len(parent) % 2 == 1:
                median = edges[len(parent) // 2][0]
            else:
                median = (edges[len(parent) // 2 - 1][0] + edges[len(parent) // 2][0]) // 2
    return median

该算法的代码实际上是一个简单的 Kruskal 算法，先将所有边按权重从小到大排序，然后从小到大依次加入边，使用并查集判断是否形成了环，如果没有形成环，则将这条边加入生成树中，并计算中位数。